Все выпуски

В работе рассматривается сингулярное интегральное уравнение типа Вольтерра второго рода, к которому методом тепловых потенциалов редуцируются некоторые граничные задачи теплопроводности в областях с границей, изменяющейся со временем. Особенность такого рода задач заключается в том, что область вырождается в точку в начальный момент времени. Соответственно, отличительной особенностью исследуемого интегрального уравнения является то, что интеграл от ядра, при стремлении верхнего предела интегрирования к нижнему не равен нулю. Данное обстоятельство не позволяет решить данное уравнение методом последовательных приближений. Построено общее решение соответствующего характеристического уравнения и методом равносильной регуляризации Карлемана–Векуа найдено решение полного интегрального уравнения. Показано, что соответствующее однородное интегральное уравнение имеет ненулевое решение.

In this paper, we consider a singular Volterra type integral equation of the second kind, to which some boundary value problems of heat conduction in domains with a boundary varying with time are reduced by the method of thermal potentials. The peculiarity of such problems is that the domain degenerates into a point at the initial moment of time. Accordingly, a distinctive feature of the integral equation under study is that the integral of the kernel, as the upper limit of integration tends to the lower one, is not equal to zero. This circumstance does not allow solving this equation by the method of successive approximations. We constructed the general solution of the corresponding characteristic equation and found the solution of the complete integral equation by the Carleman–Vekua method of equivalent regularization. It is shown that the corresponding homogeneous integral equation has a nonzero solution.