Все выпуски

Получены аппроксимации нормальной производной потенциала простого слоя для двумерного уравнения Гельмгольца в приграничной области, включающей границу. Такие аппроксимации осуществимы для любой аналитически заданной границы класса $C^5$. Для их получения используются аналитическое интегрирование по гладкой компоненте функции расстояния, аддитивно-мультипликативный способ выделения особенности и кусочно-квадратичная интерполяция медленно изменяющихся функций. Доказано, что такие аппроксимации сходятся с кубической скоростью равномерно относительно расстояния до границы. Также доказано, что полуаналитические аппроксимации по аналогии с точной функцией терпят на границе разрыв, величина которого пропорциональна значениям интерполированной функции плотности. Теоретические выводы подтверждены результатами вычислений вблизи и на границе круговой области нормальной производной потенциала простого слоя.

Approximations of the normal derivative of the simple layer potential for the two-dimensional Helmholtz equation in a near-boundary region including the boundary are obtained. Such approximations are feasible for any analytically specified boundary of class $C^5$. To obtain them, analytical integration over the smooth component of the distance function, an additive-multiplicative method for extracting a singularity, and piecewise-quadratic interpolation of slowly varying functions are used. It is proved that such approximations converge uniformly with a cubic rate with respect to the distance to the boundary. It is also proved that semi-analytical approximations, by analogy with the exact function, suffer a discontinuity at the boundary, the magnitude of which is proportional to the values of the interpolated density function. The theoretical conclusions are confirmed by the results of calculations of the normal derivative of the simple layer potential near and on the boundary of a circular domain.