Все выпуски

В работе построено равновесие по Бержу в модели олигополии Курно. Проведено сравнение равновесий по Бержу и по Нэшу. Выявлены условия, при которых выигрыши игроков в ситуации равновесия по Бержу больше, чем их выигрыши в ситуации равновесия по Нэшу.

В качестве математической модели конфликта рассматривается бескоалиционная игра Γ двух участников при неопределенности. О неопределенности известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют. Для оценки риска в Γ привлекается функция риска по Сэвиджу (из принципа минимаксного сожаления). Качество функционирования участников конфликта оценивается по двум критериям - исходам и рискам, при этом каждый из них стремится увеличить исход и одновременно уменьшить риск. На основе синтеза принципов минимаксного сожаления и гарантированного результата, равновесности по Нэшу и оптимальности по Слейтеру, а также решения иерархической двухуровневой игры по Штакельбергу формализуется понятие гарантированного по исходам (выигрышам) и рискам равновесия в Γ. Приведен пример. Затем устанавливается существование такого решения в смешанных стратегиях при обычных ограничениях в математической теории игр.

В 1883 г. французский математик Жозеф Луи Франсуа Бертран (1822-1900) построил модель ценовой конкуренции на олигопольном рынке, на котором фирмы конкурируют между собой, меняя цену продукции. Заметим, что такая модель не «блистала новизной», ибо ровно на 45 лет раньше тоже французский экономист, философ и математик Антуан Огюст Курно (1801-1877) в «Исследовании математических принципов теории богатства» в разделе 7 «О конкуренции производителей» рассмотрел частный случай олигополии – дуополию (при которой участвуют только два производителя). В ней уже математическая модель основывалась на том, что оба производителя выбирают объем поставляемой продукции, цена же варьируется в результате равновесия между спросом и предложением. Рыночная цена устанавливается на том же уровне, на котором покупателями будет предъявлен спрос на весь «выкинутый на рынок» товар. Однако Бертран основывался на более естественном поведении продавца, именно на выборе им цены, а не количества «выброшенного» на рынок товара, как у Курно.
Заметим, что покупатели обычно рассматривают продукцию одинакового назначения разных фирм как разные товары. Поэтому будем считать, что на рынок каждая фирма выходит со своим товаром, причем все эти товары взаимозаменяемы.
Математическая модель дуополии Бертрана представлена бескоалиционной игрой двух лиц в нормальной форме. Для нее формализуется два вида равновесия: по Бержу (РБ) и по Нэшу (РН).
Предполагается, что:
$a)$ максимальная цена и себестоимость у обоих игроков совпадают (что естественно для рынка одного товара);
$b)$ запрещена коалиция из двух игроков (в этом – бескоалиционный характер игры);
$c)$ цена больше себестоимости, ибо в противном случае продавцам (игрокам) вряд ли стоит появляться на рынке.
В предлагаемой читателю статье для почти всех значений параметров модели установлен конструктивный способ выбора конкретного равновесия (РБ или РН) в зависимости от установившейся на рынке максимальной цены продукта.

Метод малого параметра Пуанкаре активно применяется в небесной механике, а также в теории дифференциальных уравнений и в ее важном разделе — оптимальном управлении. В предлагаемой статье данный метод используется для построения явного вида равновесия по Нэшу и Бержу в дифференциальной позиционной игре с малым влиянием одного из игроков на скорость изменения фазового вектора.