Все выпуски

В работе рассмотрена интегрируемая гамильтонова система на алгебре Ли $so(4)$ с дополнительным интегралом четвертой степени - интегрируемый случай Адлера-ван Мёрбеке. Рассмотрены классические работы, посвященные, с одной стороны, динамике твердого тела, содержащего полости, полностью заполненные идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, а с другой стороны, изучению геодезических потоков левоинвариантных метрик на группах Ли. Приведены уравнения движения, функция Гамильтона, скобки Ли-Пуассона, функции Казимира и фазовое пространство рассматриваемого случая. В предыдущих работах начато исследование фазовой топологии интегрируемого случая Адлера-ван Мёрбеке: приводятся в явном виде спектральная кривая, дискриминантное множество, бифуркационная диаграмма отображения момента, предъявлены характеристические показатели для определения типа критических точек ранга 0 и 1 отображения момента. В данной работе излагается алгоритм построения торов Лиувилля. Рассмотрены примеры перестроек лиувиллиевых торов при пересечении бифуркационных кривых для перестроек одного тора в два и двух торов в два.

Критически обсуждаются различные способы определения иррегулярных и регулярных сил в звездных системах. Наиболее удовлетворительным кажется определение Эддингтона, согласно которому регулярная сила - это сила притяжения сплошной гравитирующей среды, получающейся «размешиванием» вещества по системе. Интерес представляет также определение регулярной силы как математического ожидания случайной силы. Подчеркивается, что время пересечения τ_c, характерное время действия регулярных сил, определяет темп коллективных процессов в системе. Существенно, что регулярные силы могут приводить и, как правило, приводят к бесстолкновительной стохастизации. В этой связи рассматривается квазиэнтропия, среднее по фазовому пространству значение произвольной выпуклой функции от крупнозернистой функции распределения. Максимум квазиэнтропии для невращающихся систем возможен только при изотропном распределении скоростей. Приводятся найденные Антоновым выражения для ее первой и второй вариаций. Если вторая вариация положительна хотя бы для некоторого изменения плотности, то это означает, что данное состояние системы не является наивероятнейшим. Отсюда следует, что эволюция вдоль последовательности политропных шаров невозможна без поступления в систему дополнительной энергии. Напоминается классификация видов фазового размешивания в бесстолкновительных системах.

Кратко рассматривается проблема столкновительной релаксации в гравитирующих системах. Излагается подход к ее решению с точки зрения теории геодезических потоков с последующим усреднением по ансамблю, что требует знания закона распределения случайной силы. Чтобы избежать обрезания распределения Хольцмарка на малых прицельных расстояниях, использовано распределение случайной силы, найденное Петровской. В этом случае оказывается, что отношение эффективного времени стохастизации к времени пересечения пропорционально N^⅓/(ln N)^½, где N>>1 - число тел в системе. Полученная временная шкала столкновительной эволюции практически совпадает с шкалой, ранее предложенной Генкиным.

Исследуется система $N$ ротаторов с наложенной связью, заданной условием обращения в ноль суммы косинусов углов поворота. Сформулированы уравнения динамики и приведены результаты численного моделирования для случаев $N=3$, $4$ и $5$, которые отвечают геодезическим потокам на двумерном, трехмерном и четырехмерном многообразии в компактной области (в силу периодичности конфигурационного пространства по угловым переменным). Система из трех ротаторов демонстрирует хаос, характеризуемый наличием одного положительного показателя Ляпунова, а для систем из четырех и пяти элементов имеется, соответственно, два и три положительных показателя (гиперхаос). Реализован алгоритм, позволяющий вычислять секционную кривизну многообразия в ходе численного моделирования динамики в точках траектории. В случае $N=3$ кривизна двумерного многообразия отрицательна (за исключением конечного числа точек, где она нулевая), и реализуется геодезический поток Аносова. Для $N=4$ и $5$ расчеты показывают, что условие отрицательной секционной кривизны не выполнено. Также изложена методика и представлены результаты проверки гиперболичности на основе численного анализа углов между подпространствами векторов малых возмущений, причем в случае $N=3$ гиперболичность подтверждается, а для $N=4$ и $5$ нет.