Все выпуски

Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцью-Нагумо. Предполагается, что пространственная переменная изменяется на отрезке, на концах которого заданы однородные краевые условия Неймана. Известно, что в данном случае в системе Рэлея с диффузией существует пространственно-однородный автоколебательный режим, совпадающий с предельным циклом классической системы Рэлея. В настоящей работе показано существование счетного множества критических значений управляющего параметра, при которых возникают пространственно-неоднородные автоколебательные и стационарные режимы. Данные режимы устойчивы относительно возмущений, принадлежащих некоторым бесконечномерным инвариантным подпространствам системы, но неустойчивы во всем фазовом пространстве. Это свойство объясняет, почему в результате численных экспериментов при некоторых значениях параметра различным начальным условиям соответствуют нулевое, периодическое по времени или стационарное решение. Асимптотика вторичных решений построена методом Ляпунова-Шмидта. Явно найдены первые члены разложения, проанализированы формулы для общего члена асимптотики. Показано, что на инвариантных подпространствах происходит мягкая потеря устойчивости нулевого равновесия. Эволюция вторичных режимов при увеличении значений надкритичности исследована численно. Установлено, что с ростом значений надкритичности вторичные автоколебательные режимы постепенно сменяются стационарными. Амплитуда стационарных решений растет по мере увеличения надкритичности, а профиль асимптотически стремится к профилю меандра.

В работе рассматривается задача о малых движениях вязкой стратифицированной жидкости, частично заполняющей контейнер, который равномерно вращается вокруг оси, сонаправленной с действием силы тяжести. Задача исследуется на основе подхода, связанного с применением так называемой теории операторных матриц. С этой целью вводятся гильбертовы пространства и некоторые их подпространства, а также вспомогательные краевые задачи. Исходная начально-краевая задача сводится к задаче Коши для дифференциального уравнения первого порядка в некотором гильбертовом пространстве. После детального изучения свойств операторных коэффициентов доказана теорема о разрешимости полученной задачи Коши. На этой основе найдены достаточные условия существования решения начально-краевой задачи, описывающей эволюцию исходной гидросистемы.

Рассматривается линейное однородное автономное дескрипторное уравнение с дискретным временем $$B_0g(k+1)+\sum_{i=1}^mB_ig(k+1-i)=0,\quad k=m,m+1,\ldots,$$ c прямоугольными (в общем случае) матрицами $B_i.$ Такое уравнение возникает при исследовании задач управления системами со многими соизмеримыми запаздываниями в управлении: задачи 0-управляемости, задачи синтеза регулятора типа обратной связи, обеспечивающего успокоение решения исходной системы, задачи модальной управляемости (управляемости коэффициентов характеристического квазиполинома), задачи спектральной приводимости и задачи синтеза наблюдателей для двойственной системы наблюдения. Для изучаемого дескрипторного уравнения с дискретным временем на основе решения конечной цепочки однородных алгебраических систем построено описание подпространства начальных условий, для которых это уравнение разрешимо. Получено представление всех его решений в виде, позволяющем организовать вычислительный процесс для нахождения одного из решений этого уравнения. Изучены свойства этого уравнения, используемые в задачах синтеза регуляторов для непрерывных систем со многими соизмеримыми запаздываниями в управлении. Отличительной чертой представленного исследования изучаемого объекта является использование подхода, не требующего построения преобразований, приводящих матрицы исходного уравнения к различным каноническим формам.