Все выпуски

Предложен подход к получению точных решений неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных. Показано, что если правая часть уравнения задает поверхность уровня для решения уравнения, то в рамках этого подхода поиск решений рассматриваемого неоднородного уравнения сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ). В противном случае поиск решений уравнения приводит к решению системы ОДУ. Получение системы ОДУ опирается на наличие в рассматриваемом уравнении первых производных от искомой функции. Для уравнений в частных производных, которые явно не содержат первые производные искомой функции, предложена подстановка, позволяющая получить такие члены в уравнении. Чтобы свести исходное уравнение, содержащее первые производные от искомой функции, к системе ОДУ, рассматривается связанная с ним система двух уравнений в частных производных. Первое уравнение системы содержит в левой части частные производные только первого порядка, выбранные из исходного уравнения, в правой части - произвольную функцию, аргументом которой является искомая функция. Второе уравнение содержит члены исходного уравнения, не вошедшие в первое уравнение системы, и правую часть первого уравнения формируемой системы. Решение исходного уравнения сводится к поиску решения первого уравнения полученной системы уравнений в частных производных, обращающего в тождество второе уравнение системы. Такое решение удается найти, используя расширенную систему уравнений характеристик для первого уравнения и произвол в выборе функции из правой части этого уравнения. Описанный подход применен для получения некоторых точных решений уравнения Пуассона, уравнения Монжа-Ампера и уравнения конвекции-диффузии.

Предлагается алгоритм получения решения уравнений в частных производных с правой частью, заданной на сетке $\{ (x_{1})_{\mu}, (x_{2})_{\mu}, \ldots, (x_{n})_{\mu}\},$ $(\mu=1,2,\ldots,N)\colon f_{\mu}=f((x_{1})_{\mu}, (x_{2})_{\mu}, \ldots, (x_{n})_{\mu}).$ Здесь $n$ — число независимых переменных в исходном уравнении в частных производных, $N$ — число строк в сетке для правой части, $f=f( x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ — правая часть исходного уравнения. Алгоритм реализует редукцию исходного уравнения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (системе ОДУ) с начальными условиями в каждой точке сетки и включает следующую последовательность действий. Ищется решение исходного уравнения, зависящее от одной независимой переменной. Исходному уравнению ставится в соответствие некоторая система соотношений, содержащая произвольные функции и включающая уравнение в частных производных первого порядка. Для уравнения первого порядка выписывается расширенная система уравнений характеристик. Присоединяя к ней остальные соотношения, содержащие произвольные функции, и требуя, чтобы эти соотношения были первыми интегралами расширенной системы уравнений характеристик, приходим к искомой системе ОДУ, завершая редукцию. Предлагаемый алгоритм позволяет в каждой точке сетки находить решение исходного уравнения в частных производных, удовлетворяющее заданным начальным и краевым условиям. Алгоритм применяется для получения решений уравнения Пуассона и уравнения нестационарной осесимметричной фильтрации в точках сетки, на которой заданы правые части соответствующих уравнений.

В работе рассматриваются результаты решения задачи стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале с обратным уступом и прогреваемой нижней стенкой в широком диапазоне числа Рейнольдса $100\leqslant \text{Re}\leqslant 1000$ и параметра расширения потока $1.11 \leqslant ER \leqslant 10$. Исследование выполнено путем численного интегрирования системы двумерных уравнений Навье-Стокса в переменных «скорость-давление» на равномерных сетках с шагом 1/300. Достоверность полученных результатов подтверждается их сравнением с литературными данными. Приводятся подробные картины течения и перегрева жидкости в зависимости от двух основных параметров задачи: $\text{Re}$ и $ER$. Показывается, что с одновременным ростом параметров $\text{Re}$ и $ER$ существенно усложняется структура течения - увеличиваются количество вихрей и их размеры вплоть до образования вихря за уступом с двумя центрами вращения. Также показывается, что характерная высота зоны прогрева течения слабо зависит от $\text{Re}$ и $ER$ и в конечном счете ближе к выходу из канала составляет приблизительно половину его высоты. Для всех центров вихрей определяются их основные характеристики: координаты, экстремумы функции тока, завихренности. Анализируется сложное немонотонное поведение профилей коэффициентов трения, сопротивления и теплоотдачи (числа Нуссельта) по длине канала. Показывается, что эти коэффициенты в одинаковой степени сильно зависят как от числа Рейнольдса, так и от параметра расширения канала, достигая своих максимальных значений при максимальных значениях $\text{Re}$ и $ER$.