Все выпуски

На примере известной задачи о прокладке трассы изучаются возможности численного решения сосредоточенных задач оптимального управления методом параметризации управления с помощью линейной комбинации $\mu$ функций Гаусса. Напомним, что функция Гаусса (называемая также квадратичной экспонентой) - это функция вида $\varphi(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\dfrac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right]$. Основу метода составляет сведение исходной бесконечномерной задачи оптимизации к конечномерной задаче минимизации целевого функционала по параметрам аппроксимации управления с последующим применением численных методов конечномерной оптимизации. Данная статья опирается на исследование, проведенное автором ранее и касавшееся возможностей аппроксимации функций одного переменного на конечном отрезке линейной комбинацией функций Гаусса, и является его непосредственным продолжением. Прежде всего, мы доказываем утверждение об аппроксимации на любом конечном отрезке материнского вейвлета «мексиканская шляпа» линейной комбинацией двух квадратичных экспонент. Отсюда получаем теоретическое обоснование возможности эффективной аппроксимации функций одного переменного на любом конечном отрезке линейными комбинациями функций Гаусса. После этого мы проводим сравнение качества аппроксимации указанного вида с аппроксимацией по Котельникову на базе численных экспериментов. Затем приводится постановка задачи о прокладке трассы, а также результаты ее численного решения при различных способах параметризации управления, наглядно демонстрирующие преимущества предлагаемого способа, в частности устойчивость численного решения к погрешности вычисления параметров аппроксимации оптимального управления даже при использовании малого количества этих параметров.

Изучаются аппроксимирующие конечномерные задачи математического программирования, возникающие в результате кусочно-постоянной дискретизации управления (в рамках техники параметризации управления) при оптимизации распределенных систем достаточно широкого класса. Устанавливается непрерывность по Липшицу градиентов функций аппроксимирующих задач; приводятся соответствующие формулы градиентов, использующие аналитическое решение исходной управляемой системы и сопряженной к ней системы и тем самым обеспечивающие возможность алгоритмического разделения проблемы оптимизации и проблемы решения управляемой начально-краевой задачи. Применение к численному решению задач оптимизации иллюстрируется на примере задачи Коши-Дарбу, управляемой по интегральному критерию. Приводятся результаты численного решения соответствующей аппроксимирующей задачи в системе MatLab с помощью программы fmincon, а также авторской программы, реализующей метод условного градиента. Кроме того, рассматривается задача безусловной минимизации, получаемая из аппроксимирующей задачи с ограничениями методом синус-параметризации. Приводятся результаты численного решения указанной задачи в системе MatLab с помощью программы fminunc, а также авторских программ, реализующих методы наискорейшего спуска и BFGS. Результаты численных экспериментов подробно анализируются.

Изучаются возможности аппроксимации произвольной кусочно-непрерывной функции на конечном отрезке линейной комбинацией $\mu$ функций Гаусса с целью дальнейшего их использования для аппроксимации управлений в сосредоточенных задачах оптимального управления. Напомним, что функция Гаусса (квадратичная экспонента) - это функция вида $\varphi(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\dfrac{(x-m)^2}{2\sigma^2} \right]$. В отличие от исследований, проводившихся ранее другими авторами, рассматривается случай, когда параметры функций Гаусса (так же как и коэффициенты линейной комбинации) являются варьируемыми и подбираются, в частности, путем минимизации отклонения аппроксимации от аппроксимируемой функции либо (в том случае, когда речь идет об аппроксимации задачи оптимального управления) путем минимизации целевого функционала. Этот подход позволяет аппроксимировать задачи оптимального управления сосредоточенными системами конечномерными задачами математического программирования сравнительно небольшой размерности (в отличие от кусочно-постоянной или кусочно-линейной аппроксимации на фиксированной сетке с малым шагом, как это обычно делается). Приводятся результаты численных экспериментов, подтверждающие эффективность изучаемого подхода.