Все выпуски

Рассматривается нелинейное функционально-операторное уравнение типа Гаммерштейна, представляющее собой удобную форму описания широкого класса управляемых распределенных систем. Для указанного уравнения доказываются теорема единственности решения, а также мажорантный признак тотально (по всему множеству допустимых управлений) глобальной разрешимости, использующий предположения о вольтерровости операторной составляющей и о дифференцируемости по переменной состояния функциональной составляющей правой части. Кроме того, используются предположения о глобальной разрешимости исходного уравнения для фиксированного допустимого управления $u=v$, а также о глобальной разрешимости некоторого мажорантного уравнения с правой частью, зависящей от максимального отклонения допустимых управлений от управления $v$. В качестве примера рассматривается первая краевая задача для параболического уравнения второго порядка с правой частью $f\bigl( t, x(t),u(t)\bigr)$, $t=\{ t_0,\overline{t}\}\in\Pi=(0,T)\times Q$, $Q\subset\mathbb{R}^n$, $x$ - фазовая переменная, $u$ - управляющая переменная. Здесь решение мажорантного уравнения можно представить как решение начально-краевой задачи аналогичного вида с правой частью $bx^{q/2}+a_0x+Z$, при нулевых начально-краевых условиях, $Z(t)=\max\limits_{u\in\mathcal{V}(t)} |f(t,x[v](t),u)-f(t,x[v](t),v(t))|$, $\mathcal{V}(t)\subset\mathbb{R}^s$ - множество допустимых значений управления при $t\in\Pi$, $q>2$, $s\in\mathbb{N}$; $a_0(.)$ и $b\geqslant0$ - параметры, определяемые по $f^\prime_x$.

Рассматривается нелинейное эволюционное операторное уравнение второго рода $\varphi=\mathcal{F}\bigl[f[u]\varphi\bigr]$, $\varphi\in W[0;T]\subset L_q\bigl([0;T];X\bigr)$, в произвольном банаховом пространстве $X$, с эволюционными (вольтерровыми) операторами $\mathcal{F}\colon L_p\bigl([0;\tau];Y\bigr)\to W[0;T]$, $f[u]\colon W[0;T]\to L_p\bigl([0;T];Y\bigr)$ общего вида, $Y$ - произвольное банахово пространство, $u\in\mathcal{D}$ - управляющий параметр. Для указанного уравнения доказываются теорема единственности решения, а также теорема о достаточных условиях тотально (по множеству допустимых управлений) глобальной разрешимости при варьировании управления. При некоторых естественных предположениях, связанных с поточечными по времени $t$ оценками, заключение об однозначной тотально глобальной разрешимости делается, исходя из факта глобальной разрешимости системы сравнения, в качестве которой выступает система функционально-интегральных неравенств (можно заменить ее системой уравнений аналогичного типа, а в некоторых случаях - системой обыкновенных дифференциальных уравнений) относительно функций одного переменного $t\in[0;T]$ со значениями в пространстве $\mathbb{R}$. В качестве примера устанавливаются условия однозначной тотально глобальной разрешимости управляемой нелинейной нестационарной системы уравнений Навье-Стокса.

Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности (КУО) — принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина — в выпуклой задаче оптимального управлении с функциональными ограничениями типа равенства и неравенства. Управляемая система задается линейным функционально-операторным уравнением второго рода общего вида в пространстве $L^m_2$, основной оператор правой части уравнения предполагается квазинильпотентным. Целевой функционал задачи является сильно выпуклым. Получение регуляризованных КУО в итерационной форме основано на использовании метода итеративной двойственной регуляризации. Основное предназначение получаемых в работе регуляризованных принципа Лагранжа и принципа максимума Понтрягина в итерационной форме — устойчивое генерирование минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги. Регуляризованные КУО в итерационной форме формулируются как теоремы существования в исходной задаче минимизирующих приближенных решений. Они «преодолевают» свойства некорректности КУО и являются регуляризирующими алгоритмами для решения оптимизационных задач. В качестве иллюстративного примера рассматривается задача оптимального управления, связанная с гиперболической системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Пусть $U$ — множество допустимых управлений, $T>0$ и задана шкала банаховых пространств $W[0;\tau]$, $\tau\in(0;T]$, такая, что множество сужений функций из $W=W[0;T]$ на $[0;\tau]$ совпадает с $W[0;\tau]$, $F[\cdot;u]\colon W\to W$ — управляемый вольтерров оператор, $u\in U$. Для операторного уравнения $x=F[x;u]$, $x\in W$, вводится система сравнения в форме функционально-интегрального уравнения в пространстве $\mathbf{C}[0;T]$. Устанавливается, что при естественных предположениях относительно оператора $F$ для сохранения (относительно малых вариаций правой части) глобальной разрешимости операторного уравнения достаточно сохранения глобальной разрешимости указанной системы сравнения. Сам по себе этот факт аналогичен некоторым результатам, установленным автором ранее. Центральный результат статьи составляет ряд признаков устойчивой глобальной разрешимости функционально-интегральных уравнений, упомянутых выше, без предположения типа локальной липшицевости правой части. В качестве содержательного примера, представляющего самостоятельный интерес, рассматривается нелинейная нестационарная система Навье–Стокса в пространстве $\mathbb{R}^3$.