Все выпуски

Пусть $U$ — множество допустимых управлений, $T>0$ и задана шкала банаховых пространств $W[0;\tau]$, $\tau\in(0;T]$, такая, что множество сужений функций из $W=W[0;T]$ на $[0;\tau]$ совпадает с $W[0;\tau]$; $F[.;u]\colon W\to W$ — управляемый вольтерров оператор, $u\in U$. Ранее для операторного уравнения $x=F[x;u]$, $x\in W$, автором была введена система сравнения в форме функционально-интегрального уравнения в пространстве $\mathbf{C}[0;T]$. Было установлено, что для сохранения (относительно малых вариаций правой части) глобальной разрешимости операторного уравнения достаточно сохранения глобальной разрешимости указанной системы сравнения, а также установлены соответствующие достаточные условия. В данной статье рассматриваются дальнейшие примеры приложения этой теории: нелинейное волновое уравнение, сильно нелинейное волновое уравнение, нелинейное уравнение теплопроводности, сильно нелинейное параболическое уравнение.

Рассматривается нелинейное эволюционное операторное уравнение второго рода $\varphi=\mathcal{F}\bigl[f[u]\varphi\bigr]$, $\varphi\in W[0;T]\subset L_q\bigl([0;T];X\bigr)$, в произвольном банаховом пространстве $X$, с эволюционными (вольтерровыми) операторами $\mathcal{F}\colon L_p\bigl([0;\tau];Y\bigr)\to W[0;T]$, $f[u]\colon W[0;T]\to L_p\bigl([0;T];Y\bigr)$ общего вида, $Y$ - произвольное банахово пространство, $u\in\mathcal{D}$ - управляющий параметр. Для указанного уравнения доказываются теорема единственности решения, а также теорема о достаточных условиях тотально (по множеству допустимых управлений) глобальной разрешимости при варьировании управления. При некоторых естественных предположениях, связанных с поточечными по времени $t$ оценками, заключение об однозначной тотально глобальной разрешимости делается, исходя из факта глобальной разрешимости системы сравнения, в качестве которой выступает система функционально-интегральных неравенств (можно заменить ее системой уравнений аналогичного типа, а в некоторых случаях - системой обыкновенных дифференциальных уравнений) относительно функций одного переменного $t\in[0;T]$ со значениями в пространстве $\mathbb{R}$. В качестве примера устанавливаются условия однозначной тотально глобальной разрешимости управляемой нелинейной нестационарной системы уравнений Навье-Стокса.

Пусть $U$ — множество допустимых управлений, $T>0$ и задана шкала банаховых пространств $W[0;\tau]$, $\tau\in(0;T]$, такая, что множество сужений функций из $W=W[0;T]$ на $[0;\tau]$ совпадает с $W[0;\tau]$, $F[\cdot;u]\colon W\to W$ — управляемый вольтерров оператор, $u\in U$. Для операторного уравнения $x=F[x;u]$, $x\in W$, вводится система сравнения в форме функционально-интегрального уравнения в пространстве $\mathbf{C}[0;T]$. Устанавливается, что при естественных предположениях относительно оператора $F$ для сохранения (относительно малых вариаций правой части) глобальной разрешимости операторного уравнения достаточно сохранения глобальной разрешимости указанной системы сравнения. Сам по себе этот факт аналогичен некоторым результатам, установленным автором ранее. Центральный результат статьи составляет ряд признаков устойчивой глобальной разрешимости функционально-интегральных уравнений, упомянутых выше, без предположения типа локальной липшицевости правой части. В качестве содержательного примера, представляющего самостоятельный интерес, рассматривается нелинейная нестационарная система Навье–Стокса в пространстве $\mathbb{R}^3$.