Все выпуски

Последние 15 лет в физической литературе активно изучаются майорановские локализованные состояния (МЛС) и сопутствующие их возникновению явления, такие, как изменение кондактанса и эффект Джозефсона, что обусловлено вероятным применением МЛС при создании квантового компьютера. В статье изучены собственные функции одномерного оператора Боголюбова-де Жена с дельтаобразным потенциалом в нуле, описывающие локализованные состояния с энергией в лакуне спектра (сверхпроводящей щели). Найдены вероятности прохождения в задаче рассеяния для этого оператора, когда энергии близки к границе сверхпроводящей щели. Эти задачи исследовались как для единого на всей прямой сверхпроводящего порядка, определяемого вещественной константой $\Delta,$ так и для сверхпроводящего порядка, определяемого функцией $\Delta \theta (-x)+\Delta e^{i\varphi} \theta (x)$ для $\varphi=0,\pi$ (т.е. для нулевого сверхпроводящего тока и тока, близкого к критическому). Используемый гамильтониан можно рассматривать как простейшую модель перехода Джозефсона. Доказано, что в обоих случаях существуют два МЛС, но лишь при определенных значениях параметров, т.е. МЛС неустойчивы. При этом вероятность прохождения равна нулю в обоих случаях.

For the last 15 years, Majorana bounded states (MBSs) and associated phenomena, such as variation of conductance and the Josephson effect, have been actively studied in the physical literature. Research in this direction is motivated by a highly probable use of MBSs in quantum computing. The article studies the eigenfunctions of the one-dimensional Bogolyubov-de Gennes operator with a delta-shaped potential at zero, describing localized states with energy in the spectral gap (superconducting gap). The transmission probabilities are found in the scattering problem for this operator, when the energies are close to the boundary of the superconducting gap. These problems are studied both for a superconducting order that is the only one on the whole straight line and is defined by the real constant $\Delta,$ and for a superconducting order defined by the function $\Delta\theta(-x)+\Delta e^{i\varphi}\theta(x)$ for $\varphi=0,\pi$ (i.e., for zero superconducting current and for current close to critical). The Hamiltonian used can be considered as the simplest model of the Josephson junction. It is proved that in both cases there are two MBSs, but with certain values of the parameters, i.e., MBSs are unstable. Moreover, the probability of passage is zero in both cases.

В настоящее время в физической литературе активно изучаются майорановские локализованные состояния (МЛС) и сопутствующие их возникновению явления, такие как изменение кондактанса, что обусловлено весьма вероятным применением МЛС в квантовых вычислениях. Несмотря на актуальность, строгого математического исследования спектральных свойств и рассеяния для одночастичного оператора Боголюбова-де Жена $H,$ обычно используемого для исследования МЛС, почти не проводилось; методы, предложенные в статье, позволяют получить математически и физически интересные результаты. В работе математически строго изучен вопрос существования МЛС (т.е. существования нулевого собственного значения) для гамильтониана Боголюбова-де Жена в случае бесконечной одномерной $p$-волновой сверхпроводящей структуры при наличии потенциала; получены условия существования МЛС. Также изучена задача рассеяния для оператора Боголюбова-де Жена с потенциалом. При решении данных задач используется функция Грина оператора $H$, которая также найдена в статье.

At the present time, the Majorana bounded states (MBSs) and associated phenomena, such as the variation of the conductance, are being actively studied in the physical literature because of the highly probable use of MBSs in quantum computations. In spite of the urgency, a rigorous mathematical study of the spectral properties and scattering for the one-particle Bogolyubov-de Gennes operator $H,$ commonly used for investigation of MBS's, has almost never been carried out. The methods proposed in the article allow one to obtain mathematically and physically interesting results. In this paper, we study the problem of the existence of MBSs (that is, the existence of a zero eigenvalue) for the Bogolyubov-de Gennes Hamiltonian in the case of an infinite one-dimensional superconducting structure in the presence of a potential. Conditions for the existence of MBSs are obtained. The scattering problem for the Bogolyubov-de Gennes operator with a potential is studied. The Green's function of the operator $H$ used in solving these problems is also found.

Рассматривается гамильтониан Боголюбова – де Жена, возмущенный малым потенциалом, описывающий квазичастицы вида «электрон плюс дырка», в частности андреевские локализованные состояния (АЛС) в одномерной сверхпроводящей структуре при наличии примеси. Интерес к упомянутым квазичастицам резко возрос в последние 15-20 лет благодаря открытию в топологических сверхпроводниках майорановских локализованных состояний (МЛС). МЛС представляют собой устойчивые к внешним воздействиям нейтральные квазичастицы с нулевой энергией, весьма перспективные для будущего использования в квантовых вычислениях. Исследование возникновения и поведения, в зависимости от параметров системы и топологической фазы, АЛС, описываемых собственными функциями гамильтониана Боголюбова – де Жена, интересно как с математической точки зрения, в сравнении с обычным оператором Шрёдингера, так и с физической, поскольку может прояснить предпосылки возникновения МЛС в топологически нетривиальной фазе и майораноподобных состояний (часто играющих роль МЛС) в топологически тривиальной фазе. Изучение рассеяния интересно тем, что вероятность прохождения квазичастицы через потенциальный барьер пропорциональна кондактансу, который можно измерить в эксперименте, что в принципе дает возможность связать величину кондактанса с наличием АЛС. В статье найдены условия возникновения собственных значений (энергий квазичастиц) в сверхпроводящей щели, имеющейся в непрерывном спектре гамильтониана, а также их зависимость от параметров как в топологически нетривиальной, так и в топологически тривиальной фазах. Кроме того, исследована задача рассеяния для энергий вблизи границы щели; в частности, найдена вероятность прохождения квазичастицы через потенциальный барьер как функция от параметров системы.

We consider the Bogolyubov – de Gennes Hamiltonian perturbed by a small potential, which describes quasiparticles of electron-hole type, in particular, Andreev bound states (ABSs) in a one-dimensional superconducting structure in the presence of an impurity. In the last 15-20 years, interest in such quasiparticles has increased sharply due to the discovery of Majorana bound states (MBSs) in topological superconductors. MBSs are neutral zero-energy quasiparticles resistant to external influences, which are very promising for future use in quantum computing. The study of the appearance and behavior, depending on the system parameters and the topological phase, of ABSs described by the eigenfunctions of the Bogolyubov – de Gennes Hamiltonian, is interesting both from a mathematical point of view, in comparison with the usual Schrödinger operator, and from a physical point of view, since it can clarify prerequisites for the occurrence of MBSs in the topologically nontrivial phase and marjoram-like states (often playing the role of MBSs) in the topologically trivial phase. The study of scattering is interesting due to the fact that the probability of a quasiparticle transmission through a potential barrier is proportional to the conductance, that can be measured experimentally, which in principle makes it possible to relate the conductance to the presence of ABS. In the paper, the conditions for the appearance of eigenvalues (energies of quasiparticles) in the superconducting gap in the continuous spectrum of the Hamiltonian, as well as their dependence on the parameters in both the topological nontrivial and topologically trivial phases, are found. In addition, the scattering problem for energies near the edge of the gap has been investigated, in particular, the probability of a quasiparticle transmission through a potential barrier as a function of system parameters has been found.