Все выпуски

В данной работе методом вложения строится классификация двуметрических феноменологически симметричных геометрий двух множеств (ФС ГДМ) ранга $(3,2)$ по ранее известной аддитивной двуметрической ФС ГДМ ранга $(2,2)$, задаваемой парой функций $g^1=x+\xi$ и $g^2 = y+\eta$. Суть этого метода состоит в нахождении функций, задающих ФС ГДМ ранга $(3,2)$ по функциям $g^1=x+\xi$ и $g^2 = y+\eta$. При решении этой задачи используем тот факт, что двуметрические ФС ГДМ ранга $(3,2)$ допускают группы преобразований размерности 4, а двуметрические ФС ГДМ ранга $(2,2)$ - размерности 2. Из этого следует, что компоненты операторов алгебры Ли группы преобразований двуметрической ФС ГДМ ранга $(3,2)$ являются решениями системы восьми линейных дифференциальных уравнений первого порядка от двух переменных. Исследуя эту систему уравнений, приходим к возможным выражениям для систем операторов. Затем из систем операторов выделяем операторы, образующие алгебры Ли. Потом, применяя экспоненциальное отображение, по найденным алгебрам Ли восстанавливаем действия групп Ли. Эти действия как раз и задают двуметрические ФС ГДМ ранга $(3,2)$.

In this paper, the method of embedding is used to construct the classification of two-dimensional phenomenologically symmetric geometries of two sets (PS GTS) of rank $(3,2)$ from the previously known additive two-dimensional PS GTS of rank $(2,2)$ defined by a pair of functions $g^1=x+\xi$ and $g^2 = y+\eta$. The essence of this method consists in finding the functions defining the PS GTS of rank $(3,2)$ with respect to the functions $g^1=x+\xi$ and $g^2 = y+\eta$. In solving this problem, we use the fact that the two-dimensional PS GTS of rank $(3,2)$ admit groups of transformations of dimension 4, and the two-dimensional PS GTS of rank $(2,2)$ is of dimension 2. It follows that the components of the operators of the Lie algebra of the transformation group of the two-dimensional PS GTS of rank $(3,2)$ are solutions of a system of eight linear differential equations of the first order in two variables. Investigating this system of equations, we arrive at possible expressions for systems of operators. Then, from the systems of operators, we select the operators that form Lie algebras. Then, applying the exponential mapping, we recover the actions of the Lie groups from the Lie algebras found. It is precisely these actions that specify the two-dimensional PS GTS of rank $(3,2)$.

Для современной геометрии важное значение имеет изучение геометрий максимальной подвижности. Максимальная подвижность для $n$-мерной геометрии, задаваемой функцией $f$ пары точек означает существование $n(n+1)/2$-мерной группы преобразований, оставляющей эту функцию инвариантной. Известно много геометрий максимальной подвижности (геометрия Евклида, симплектическая, Лобачевского и т.д.), но полной классификации таких геометрий нет. В данной статье методом вложения решается одна из таких классификационных задач. Суть этого метода состоит в следующем: по известной функции пары точек $g$ трехмерной геометрии находим все невырожденные функции $f$ пары точек четырехмерных геометрий, являющиеся инвариантами группы Ли преобразований размерности 10. В этой статье $g$ - это невырожденные функции пары точек двух гельмгольцевых трехмерных геометрий: $$g = 2\ln(x_i-x_j) + \dfrac{y_i-y_j}{x_i-x_j}+2z_i+2z_j,$$ $$\ln[(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2]+ 2\gamma\,\text{arctg}\dfrac{y_i-y_j}{x_i-x_j}+2z_i+2z_j.$$ Данные геометрии локально максимально подвижны, то есть их группы движений шестимерны. Задача, решаемая в этой работе, сводится к решению аналитическими методами специальных функциональных уравнений, решения которых ищутся в виде рядов Тейлора. Для перебора различных вариантов применяется пакет математических программ Maple 15. В результате получаются только вырожденные функции пары точек.

For modern geometry, the study of maximum mobility geometries is important. The maximum mobility for $n$-dimensional geometry given by the function $f$ of a pair of points means the existence of an $n(n+1)/2$-dimensional transformation group, which leaves this function invariant. Many geometries of maximum mobility are known (Euclidean, symplectic, Lobachevsky, etc.), but there is no complete classification of such geometries. In this article, the method of embedding solves one of these classification problems. The essence of this method is as follows: from the function of a pair of points $ g $ of three-dimensional geometry, we find all non-degenerate functions $f$ of a pair of points of four-dimensional geometries that are invariants of the Lie group of transformations of dimension 10. In this article, $g$ are non-degenerate functions of a pair of points of two Helmholtz three-dimensional geometries: $$g = 2\ln(x_i-x_j) + \dfrac{y_i-y_j}{x_i-x_j} + 2z_i + 2z_j, $$ $$\ln [(x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2] + 2\gamma\,\text{arctg}\dfrac{y_i-y_j}{x_i-x_j} + 2z_i + 2z_j. $$ These geometries are locally maximally mobile, that is, their groups of motions are six-dimensional. The problem solved in this work is reduced to solving special functional equations by analytical methods, the solutions of which are sought in the form of Taylor series. For searching various options, the math software package Maple 15 is used. As a result, only degenerate functions of a pair of points are obtained.

В этой работе решается проблема расширения группы параллельных переносов трехмерного пространства до локально ограниченно точно дважды транзитивной группы Ли преобразований того же пространства. Локальная ограниченная точная двойная транзитивность означает, что существует единственное преобразование, которое переводит произвольную пару несовпадающих точек из некоторой открытой окрестности почти в любую пару точек из той же окрестности. В данной статье поставленная задача решается для двух случаев, связанных с жордановыми формами матриц третьего порядка. С помощью этих матриц записываются системы линейных дифференциальных уравнений, решения которых приводят к базисным операторам шестимерного линейного пространства. Требуя замкнутость коммутаторов этих операторов, выделяем алгебры Ли. Проверяя также условие локальной ограниченной точно дважды транзитивности, мы получаем алгебры Ли локально ограниченно точно дважды транзитивных групп Ли преобразований трехмерного пространства с подгруппой параллельных переносов. В результате получены три алгебры Ли, две из которых представимы в виде полупрямой суммы коммутативного трехмерного идеала и трехмерной подалгебры Ли, а третья разлагается в полупрямую сумму коммутативного трехмерного идеала и подалгебры, изоморфной $sl(2,R)$.

In this paper, we solve the problem of extending the group of parallel translations of a three-dimensional space to a locally boundedly sharply doubly transitive Lie group of transformations of the same space. Local bounded sharply double transitivity means that there is a single transformation that takes an arbitrary pair of non-coincident points from some open neighborhood to almost any pair of points from the same neighborhood. In this article, the problem posed is solved for two cases related to Jordan forms of third-order matrices. These matrices are used to write systems of linear differential equations, whose solutions lead to the basic operators of a six-dimensional linear space. Requiring the closedness of the commutators of these operators, we select the Lie algebras. Checking also the condition of local bounded sharply double transitivity, we obtain the Lie algebras of locally boundedly sharply doubly transitive Lie groups of transformations of a three-dimensional space with a subgroup of parallel translations. As a result, three Lie algebras are obtained, two of which can be represented as a half-line sum of a commutative three-dimensional ideal and a three-dimensional Lie subalgebra, and the third one decomposes into a half-line sum of a commutative three-dimensional ideal and a subalgebra isomorphic to $sl(2,R)$.