Все выпуски

Рассматривается задача с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка в прямоугольной области. Исследуются вопросы существования и единственности классического решения рассматриваемой задачи, а также непрерывной зависимости решения от исходных данных. Предлагается новый подход к решению задачи с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка на основе введения новых функций. Путем введения новых неизвестных функций задача сводится к эквивалентному семейству задач Коши для нагруженной системы дифференциальных уравнений с параметрами и интегральным соотношениям. Предложен алгоритм нахождения приближенного решения эквивалентной задачи и доказана его сходимость. Установлены условия однозначной разрешимости задачи с данными на характеристиках для нагруженной системы гиперболических уравнений второго порядка в терминах коэффициентов системы.

We consider a problem with data on the characteristics for a loaded system of hyperbolic equations of the second order on a rectangular domain. The questions of the existence and uniqueness of the classical solution of the considered problem, as well as the continuity dependence of the solution on the initial data, are investigated. We propose a new approach to solving the problem with data on the characteristics for the loaded system of hyperbolic equations second order based on the introduction new functions. By introducing new unknown functions the problem is reduced to an equivalent family of Cauchy problems for a loaded system of differential with a parameters and integral relations. An algorithm for finding an approximate solution to the equivalent problem is proposed and its convergence is proved. Conditions for the unique solvability of the problem with data on the characteristics for the loaded system of hyperbolic equations of the second order are established in the terms of coefficient's system.

Классическим свойством периодической функции на вещественной оси является возможность ее представления тригонометрическим рядом Фурье. Естественным аналогом условия периодичности в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^m$ является постоянство интегралов от функции по всем шарам (или сферам) фиксированного радиуса. Функции с указанным свойством можно разложить в ряд Фурье по сферическим гармоникам, коэффициенты которого разлагаются в ряды по функциям Бесселя. Этот факт допускает обобщение на векторные поля в $\mathbb{R}^m$, имеющие нулевой поток через сферы фиксированного радиуса. В данной работе изучаются векторные поля с нулевым потоком через окружности фиксированного радиуса на плоскости Лобачевского $\mathbb{H}^2$. Получено описание таких полей в виде рядов по гипергеометрическим функциям. Результаты, полученные в работе, можно использовать при решении задач, связанных с гармоническим анализом векторных полей на областях в $\mathbb{H}^2$.

A classic property of a periodic function on the real axis is the possibility of its representation by a trigonometric Fourier series. The natural analogue of the periodicity condition in Euclidean space $\mathbb{R}^m$ is the constancy of integrals of a function over all balls (or spheres) of fixed radius. Functions with the indicated property can be expanded in a Fourier series in terms of spherical harmonics whose coefficients are expanded into series in Bessel functions. This fact can be generalized to vector fields in $\mathbb{R}^m$ with zero flux through spheres of fixed radius. In this paper we study vector fields which have zero flux through every circle of fixed radius on the Lobachevskii plane $\mathbb{H}^2$. A description of such fields in the form of series in terms of hypergeometric functions is obtained. These results can be used to solve problems concerning harmonic analysis of vector fields on domains in $\mathbb{H}^2$.

Работа посвящена исследованию разрешимости обратной краевой задачи с неизвестным коэффициентом и правой частью, зависящей от времени, для линеаризованного уравнения Бенни-Люка с несамосопряженными краевыми и с дополнительными интегральными условиями. Задача рассматривается в прямоугольной области. Дается определение классического решения поставленной задачи. Сначала рассматривается вспомогательная обратная краевая задача и доказывается ее эквивалентность (в определенном смысле) исходной задаче. Для исследования вспомогательной обратной краевой задачи сначала используется метод разделения переменных. После применения формальной схемы метода разделения переменных решение прямой краевой задачи (при заданной неизвестной функции) сводится к решению задачи с неизвестными коэффициентами. После этого решение задачи сводится к решению некоторой счетной системы интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных коэффициентов. В свою очередь, последняя система относительно неизвестных коэффициентов записывается в виде одного интегро-дифференциального уравнения относительно искомого решения. Затем, используя соответствующие дополнительные условия обратной вспомогательной краевой задачи, для определения неизвестных функций получаем систему двух нелинейных интегральных уравнений. Таким образом, решение вспомогательной обратной краевой задачи сводится к системе из трех нелинейных интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций. Строится конкретное банахово пространство. Далее, в шаре из построенного банахова пространства с помощью сжатых отображений доказывается разрешимость системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, которая также является единственным решением вспомогательной обратной краевой задачи. С использованием эквивалентности задач доказывается существование и единственность классического решения исходной задачи.

The paper investigates the solvability of an inverse boundary-value problem with an unknown coefficient and the right-hand side, depending on the time variable, for the linearized Benney-Luke equation with non-self-adjoint boundary and additional integral conditions. The problem is considered in a rectangular domain. A definition of the classical solution of the problem is given. First, we consider an auxiliary inverse boundary-value problem and prove its equivalence (in a certain sense) to the original problem. To investigate the auxiliary inverse boundary-value problem, the method of separation of variables is used. By applying the formal scheme of the variable separation method, the solution of the direct boundary problem (for a given unknown function) is reduced to solving the problem with unknown coefficients. Then, the solution of the problem is reduced to solving a certain countable system of integro-differential equations for the unknown coefficients. In turn, the latter system of relatively unknown coefficients is written as a single integro-differential equation for the desired solution. Next, using the corresponding additional conditions of the inverse auxiliary boundary-value problem, to determine the unknown functions, we obtain a system of two nonlinear integral equations. Thus, the solution of an auxiliary inverse boundary-value problem is reduced to a system of three nonlinear integro-differential equations with respect to unknown functions. A special type of Banach space is constructed. Further, in a ball from a constructed Banach space, with the help of contracted mappings, we prove the solvability of a system of nonlinear integro-differential equations, which is also the unique solution to the auxiliary inverse boundary-value problem. Finally, using the equivalence of these problems the existence and uniqueness of the classical solution of the original problem are proved.

В работе исследована обратная краевая задача с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени, для одного уравнения Буссинеска четвертого порядка с нелокальными интегральными по времени условиями второго рода. Дается определение классического решения поставленной задачи. Суть задачи состоит в том, что требуется вместе с решением определить неизвестный коэффициент. Задача рассматривается в прямоугольной области. При решении исходной обратной краевой задачи осуществляется переход от исходной обратной задачи к некоторой вспомогательной обратной задаче. С помощью сжатых отображений доказываются существование и единственность решения вспомогательной задачи. Затем вновь производится переход к исходной обратной задаче, в результате делается вывод о разрешимости исходной обратной задачи.

This paper is concerned with an inverse boundary value problem for a Boussinesq type equation of fourth order with nonlocal time integral conditions. The definition of a classical solution of the problem is introduced. The goal of this paper is to determine the unknown coefficient and to solve the problem of interest. The problem is considered in a rectangular domain. To investigate the solvability of the inverse problem, we perform a conversion from the original problem to some auxiliary inverse problem with trivial boundary conditions. By the contraction mapping principle we prove the existence and uniqueness of solutions of the auxiliary problem. Then we make a conversion to the stated problem again and, as a result, we obtain the solvability of the inverse problem.

Матричный шар третьего типа и обобщенный шар Ли, связанные с классическими областями, играют важную роль в теории функций многих комплексных переменных. В данной работе вычислены объемы матричного шара третьего типа и обобщенного шара Ли. Полные объемы этих областей необходимы для нахождения ядер интегральных формул для этих областей (ядра Бергмана, Коши-Сегё, Пуассона и т. д.). Кроме того, он используется для интегрального представления функции, голоморфной на этих областях, в теореме о среднем значении и других важных понятиях. Результаты, полученные в этой статье, являются общим случаем результатов Хуа Ло-кена, и его результаты в частных случаях совпадают с нашими результатами.

The third-type matrix ball and the generalized Lie ball that are connected with classical domains play a crucial role in the theory of several complex variable functions. In this paper the volumes of the third type matrix ball and the generalized Lie ball are calculated. The full volumes of these domains are necessary for finding kernels of integral formulas for these domains (kernels of Bergman, Cauchy-Szegö, Poisson etc.). In addition, it is used for the integral representation of a function holomorphic on these domains, in the mean value theorem and other important concepts. The results obtained in this article are the general case of results of Hua Lo-ken and his results in particular cases coincides with our results.

Классическая система реакции-диффузии — система Шнакенберга — рассматривается в ограниченной области $m$-мерного пространства, на границе которой предполагаются выполненными краевые условия Неймана. Изучается диффузионная неустойчивость стационарного пространственно-однородного решения этой системы, называемая также неустойчивостью Тьюринга, возникающая при изменении коэффициента диффузии $d.$ Путем анализа линеаризованной системы в бездиффузионном и диффузионном приближениях получено аналитическое описание области необходимых и достаточных условий неустойчивости Тьюринга на плоскости параметров системы. Показано, что одна из границ области необходимых условий является огибающей семейства кривых, ограничивающих область достаточных условий. При этом точки пересечения двух соседних кривых лежат на прямой, угловой коэффициент которой зависит от собственных значений оператора Лапласа в рассматриваемой области и не зависит от коэффициента диффузии. Найдено аналитическое выражение критического коэффициента диффузии, при котором происходит потеря устойчивости положения равновесия системы. Указаны условия, в зависимости от которых множество волновых чисел, соответствующих нейтральным модам устойчивости, счетно, конечно или пусто. Показано, что полуось $d>1$ можно представить в виде счетного объединения полуинтервалов, каждому из которых соответствует минимальное волновое число, при котором происходит потеря устойчивости, причем точки разбиения полуоси выражаются через собственные значения оператора Лапласа в рассматриваемой области.

A classical reaction-diffusion system, the Schnakenberg system, is under consideration in a bounded domain $\Omega\subset\mathbb{R}^m$ with Neumann boundary conditions. We study diffusion-driven instability of a stationary spatially homogeneous solution of this system, also called the Turing instability, which arises when the diffusion coefficient $d$ changes. An analytical description of the region of necessary and sufficient conditions for the Turing instability in the parameter plane is obtained by analyzing the linearized system in diffusionless and diffusion approximations. It is shown that one of the boundaries of the region of necessary conditions is an envelope of the family of curves that bound the region of sufficient conditions. Moreover, the intersection points of two consecutive curves of this family lie on a straight line whose slope depends on the eigenvalues of the Laplace operator and does not depend on the diffusion coefficient. We find an analytical expression for the critical diffusion coefficient at which the stability of the equilibrium position of the system is lost. We derive conditions under which the set of wavenumbers corresponding to neutral stability modes is countable, finite, or empty. It is shown that the semiaxis $d>1$ can be represented as a countable union of half-intervals with split points expressed in terms of the eigenvalues of the Laplace operator; each half-interval is characterized by the minimum wavenumber of loss of stability.

Рассматривается линейная игровая задача управления на максимин с ограничениями асимптотического характера (ОАХ), которые естественно возникают в связи с реализацией «узких» управляющих импульсов. В содержательном отношении это соответствует импульсным режимам управления с полным расходованием топлива. Возникающая игровая задача отвечает использованию асимптотических режимов управления обоими игроками, что отражено в концепции расширения, реализуемой в классе конечно-аддитивных мер. Исходная содержательная задача управления для каждого из игроков рассматривается как вариант абстрактной постановки, связанной с достижимостью при ОАХ, для которой построена соответствующая обобщенная задача о достижимости и установлено представление множества притяжения (МП), играющее роль асимптотического аналога области достижимости в классической теории управления. Данная конкретизация реализуется для каждого из игроков, на основе чего получается обобщенный максимин, для которого затем указан вариант асимптотической реализации в классе обычных управлений. Получено «конечномерное» описание МП, позволяющее находить упомянутый максимин с применением численных методов. Рассмотрено решение модельного примера задачи об игровом взаимодействии двух материальных точек, включающее этап компьютерного моделирования.

We consider a linear game control problem for maximin with asymptotic constraints, which naturally arise in connection with the realization of “narrow” control pulses. In terms of content, this corresponds to pulsed control modes with full fuel consumption. The emerging game problem corresponds to the use of asymptotic control modes by both players, which is reflected in the expansion concept realized in the class of finitely additive measures. The original content control problem for each of the players is considered as a variant of abstract formulation related to attainability under asymptotic constraints, for which the corresponding generalized attainability problem is constructed and the representation of the attraction set playing the role of an asymptotic analogue of an attainability domain in the classical control theory is established. This concretization is realized for each of the players, on the basis of which a generalized maximin is obtained, for which a variant of the asymptotic realization in the class of ordinary controls is indicated. A “finite-dimensional” description of the attraction set is obtained, which makes it possible to find maximin using numerical methods. The solution of a model example of the problem of game interaction of two material points, including the stage of computer modeling, is considered.