Все выпуски

Пусть $n,m,\ell,s\in\mathbb{N}$ - заданные числа, $\Pi\subset\mathbb{R}^n$ - измеримое ограниченное множество, $\mathcal{X}, \mathcal{Z}, \mathcal{U}$ - банаховы идеальные пространства измеримых на $\Pi $ функций, $\mathcal{D}\subset\mathcal{U}^{s}$ - выпуклое множество, $\mathcal{A}$ - некоторый класс линейных ограниченных операторов $A:\mathcal{Z}^{m} \to\mathcal{X}^{\ell}$. Изучается управляемое функционально-операторное уравнение типа Гаммерштейна: $$ x(t)=\theta(t)+ A\Bigl[f(.,x(.),u(.)) \Bigr](t), \quad t\in \Pi , \quad x\in\mathcal{X}^{\ell}, \qquad \qquad (1) $$ где набор параметров $\{ u,\theta,A\}\in \mathcal{D}\times \mathcal{X}^{\ell}\times \mathcal{A}$ - управляющий; $f(t,x,v): \Pi\times\mathbb{R}^{\ell}\times\mathbb{R}^{s}\to\mathbb{R}^{m}$ - заданная функция, измеримая по $t\in\Pi$, непрерывная по $\{x,v\}\in\mathbb{R}^\ell\times\mathbb{R}^s$ и удовлетворяющая некоторым естественным предположениям. Уравнение $(1)$ является удобной формой описания широкого класса управляемых распределенных систем. Для указанного уравнения доказывается теорема о достаточных условиях глобальной разрешимости для всех $u\in\mathcal{D}$, $A\in\mathcal{A}$ и $\theta$ из поточечно ограниченного множества. Для исходного уравнения определяются мажорантное и минорантное неравенства, получаемые из уравнения $(1)$ оценкой правой части соответственно сверху и снизу. Теорема доказывается при условии глобальной разрешимости мажорантного и минорантного неравенств. В качестве приложения полученных общих результатов доказывается теорема о тотальной (по всему множеству допустимых управлений) глобальной разрешимости смешанной задачи для системы гиперболических уравнений первого порядка с управляемыми старшими коэффициентами.

Let $n,m,\ell,s\in\mathbb{N}$ be given numbers, $\Pi\subset\mathbb{R}^n$ be a measurable bounded set, $\mathcal{X}, \mathcal{Z}, \mathcal{U}$ be Banach ideal spaces of functions measurable on the set $\Pi$, $\mathcal{D}\subset\mathcal{U}^{s}$ be a convex set, $\mathcal{A}$ be some class of linear bounded operators $A:\mathcal{Z}^{m} \to\mathcal{X}^{\ell}$. We study the controlled Hammerstein type functional operator equation as follows $$ x(t)=\theta(t)+ A\Bigl[ f(.,x(.),u(.)) \Bigr](t), \quad t\in \Pi , \quad x\in\mathcal{X}^{\ell}, \qquad \qquad (1) $$ where $\{ u,\theta,A\}\in \mathcal{D}\times \mathcal{X}^{\ell}\times \mathcal{A}$ is the set of controlled parameters; $f(t,x,v): \Pi\times\mathbb{R}^{\ell}\times\mathbb{R}^{s}\to\mathbb{R}^{m}$ is a given function measurable with respect to $t\in\Pi$, continuous with respect to $\{x,v\}\in\mathbb{R}^\ell\times\mathbb{R}^s$ and satisfying to certain natural hypotheses. Eq. $(1)$ is a convenient form of representation of the broad class of controlled distributed systems. For the equation under study we prove a theorem concerning sufficient conditions of global solvability for all $u\in\mathcal{D}$, $A\in\mathcal{A}$ and $\theta$ from a pointwise bounded set. For the original equation we define some majorant and minorant inequalities obtaining them from Eq. $(1)$ with the help of upper and lower estimates of the right-hand side. The theorem is proved providing global solvability of the majorant and minorant inequalities. As an application of obtained general results we prove a theorem concerning the total (with respect to the whole set of admissible controls) global solvability of the mixed boundary value problem for a system of hyperbolic equations of the first order with controlled higher coefficients.

Рассматривается нелинейное функционально-операторное уравнение типа Гаммерштейна, представляющее собой удобную форму описания широкого класса управляемых распределенных систем. Для указанного уравнения доказываются теорема единственности решения, а также мажорантный признак тотально (по всему множеству допустимых управлений) глобальной разрешимости, использующий предположения о вольтерровости операторной составляющей и о дифференцируемости по переменной состояния функциональной составляющей правой части. Кроме того, используются предположения о глобальной разрешимости исходного уравнения для фиксированного допустимого управления $u=v$, а также о глобальной разрешимости некоторого мажорантного уравнения с правой частью, зависящей от максимального отклонения допустимых управлений от управления $v$. В качестве примера рассматривается первая краевая задача для параболического уравнения второго порядка с правой частью $f\bigl( t, x(t),u(t)\bigr)$, $t=\{ t_0,\overline{t}\}\in\Pi=(0,T)\times Q$, $Q\subset\mathbb{R}^n$, $x$ - фазовая переменная, $u$ - управляющая переменная. Здесь решение мажорантного уравнения можно представить как решение начально-краевой задачи аналогичного вида с правой частью $bx^{q/2}+a_0x+Z$, при нулевых начально-краевых условиях, $Z(t)=\max\limits_{u\in\mathcal{V}(t)} |f(t,x[v](t),u)-f(t,x[v](t),v(t))|$, $\mathcal{V}(t)\subset\mathbb{R}^s$ - множество допустимых значений управления при $t\in\Pi$, $q>2$, $s\in\mathbb{N}$; $a_0(.)$ и $b\geqslant0$ - параметры, определяемые по $f^\prime_x$.

We consider a nonlinear functional operator equation of the Hammerstein type which is a convenient form of representation for a wide class of controlled distributed parameter systems. For the equation under study we prove a solution uniqueness theorem and a majorant sign for the totally (with respect to a whole set of admissible controls) global solvability subject to Volterra property of the operator component and differentiability with respect to a state variable of the functional component in the right hand side. Moreover, we use hypotheses on the global solvability of the original equation for a fixed admissible control $u=v$ and on the global solvability for some majorant equation with the right hand side depending on maximal deviation of admissible controls from the control $v$. For example we consider the first boundary value problem associated with a parabolic equation of the second order with right hand side $f\bigl( t, x(t),u(t)\bigr)$, $t=\{ t_0,\overline{t}\}\in\Pi=(0,T)\times Q$, $Q\subset\mathbb{R}^n$, where $x$ is a phase variable, $u$ is a control variable. Here, a solution to majorant equation can be represented as a solution to the zero initial-boundary value problem of the same type for analogous equation with the right hand side $bx^{q/2}+a_0x+Z$, where $Z(t)=\max\limits_{u\in\mathcal{V}(t)} |f(t,x[v](t),u)-f(t,x[v](t),v(t))|$, $\mathcal{V}(t)\subset\mathbb{R}^s$ is a set of admissible values for control at $t\in\Pi$, $q>2$, $s\in\mathbb{N}$; $a_0(.)$ and $b\geqslant0$ are parameters defined from $f^\prime_x$.