Все выпуски

Рассматривается структурированная популяция, особи которой разделены на возрастные или типические группы, заданная нормальной автономной системой разностных уравнений. Для данной популяции исследуется задача оптимального сбора возобновляемого ресурса на конечном или бесконечном промежутках времени. Для популяции, эксплуатируемой на конечном промежутке, описана стратегия промысла, при которой достигается наибольшее значение общей стоимости изымаемого ресурса. Если же добыча ресурса происходит на неограниченном промежутке, то определяется средняя временная выгода и вычисляется ее значение при стационарном режиме эксплуатации; рассматриваются случаи, когда система имеет асимптотически устойчивую неподвижную точку или устойчивый цикл. Также описана стратегия промысла, которая является оптимальной среди других способов эксплуатации; показано, что при определенных условиях она является стационарной или отличается от стационарной только значением управления в начальный момент времени. Результаты работы проиллюстрированы на примере двухвозрастной эксплуатируемой популяции, в которой промысловому изъятию подвержены особи или младшей, или обеих возрастных групп.

We consider the structured population which individuals are divided into age or typical groups, set by the normal independent system of difference equations. For the given population the problem of optimum harvesting of a renewed resource on finite or infinite time intervals is investigated. For the population maintained on a finite interval, we describe a craft strategy at which the greatest value of a total cost of a withdrawn resource is reached. If resource extraction occurs on an unlimited interval, we define average time profit and calculate its value at a stationary mode of operation; cases when the system has an asymptotically steady motionless point or a steady cycle are considered. A craft strategy which is optimum among other ways of operation is also described; it is shown, that under certain conditions it is stationary or differs from stationary only in value of control during the initial moment of time. The results of work are illustrated by an example of two-age exploited population in which individuals of either younger or both age groups are subject to trade.

Рассматривается модель популяции, подверженной промыслу, в которой размеры промысловых заготовок являются случайными величинами. При отсутствии эксплуатации развитие популяции описывается логистическим уравнением $\dot x =(a-bx)x,$ где коэффициенты $a$ и $b$ являются показателями роста популяции и внутривидовой конкуренции соответственно, а в моменты времени $\tau_k=kd$ из популяции извлекается некоторая случайная доля ресурса $\omega_k,$ $k=1,2,\ldots.$ Предполагаем, что имеется возможность влиять на процесс сбора ресурса таким образом, чтобы остановить заготовку в том случае, когда ее доля окажется достаточно большой (больше некоторого значения $u_k\in (0,1)$ в момент $\tau_k$), чтобы сохранить возможно больший остаток ресурса для увеличения размера следующего сбора. Исследуется задача оптимального способа эксплуатации популяции $\bar u=(u_1,\dots,u_k,\dots),$ при котором добываемый ресурс постоянно восстанавливается и значение средней временной выгоды можно оценить снизу по возможности наибольшим числом. Показано, что при недостаточном ограничении доли добываемого ресурса значение средней временной выгоды может равняться нулю для всех или для почти всех значений случайных параметров. Рассматривается также следующая задача: пусть задано значение $u\in(0,1),$ которым мы ограничиваем случайную долю ресурса $\omega_k,$ добываемого из популяции в моменты времени $\tau_k$, $k=1,2,\ldots.$ Требуется найти минимальное время между соседними изъятиями, необходимое для восстановление ресурса, чтобы можно было производить добычу до тех пор, пока доля извлеченного ресурса не достигнет значения $u$.

We consider the model of population subject to a craft, in which sizes of the trade preparations are random variables. In the absence of operation the population development is described by the logistic equation $\dot x = (a-bx) x,$ where coefficients $a $ and $b $ are indicators of growth of population and intraspecific competition respectively, and in time moments $ \tau_k=kd$ some random share of a resource $\omega_k,$ $k=1,2, \ldots,$ is taken from population. We assume that there is a possibility to exert influence on the process of resource gathering so that to stop preparation in the case when its share becomes big enough (more than some value $u_k\in (0,1)$ in the moment $\tau_k$) in order to keep the biggest possible rest of a resource and to increase the size of next gathering. We investigate the problem of an optimum way to control population $ \bar u = (u_1, \dots, u_k, \dots)$ at which the extracted resource is constantly renewed and the value of average time profit can be lower estimated by the greatest number whenever possible. It is shown that at insufficient restriction of a share of the extracted resource the value of average time profit can be equaled to zero for all or almost all values of random parameters. We also consider the following problem: let a value $u\in (0,1)$ be given, by which we limit a random share of a resource $ \omega_k, $ extracted from population in time moments $\tau_k,$ $k=1,2, \ldots .$ It is required to find minimum time between neighboring withdrawals, necessary for resource renewal, in order to make it possible to do extractions until the share of the taken resource does not reach the value $u$.

Данная работа посвящена исследованию инвариантных множеств управляемых систем с импульсными воздействиями, параметризованных метрической динамической системой. Такими системами описываются различные стохастические модели популяционной динамики, экономики, квантовой электроники и механики. Получены условия существования инвариантных множеств для множества достижимости системы и условия асимптотического приближения решений системы к заданному множеству. Результаты работы проиллюстрированы на примерах развития популяции, подверженной промыслу, когда моменты и размеры промысловых заготовок являются случайными величинами. Для данных моделей исследованы различные динамические режимы развития, которые существенно отличаются от режимов детерминированных моделей и более полно отображают процессы, происходящие в реальных экологических системах. Получены условия, при которых размер популяции находится в заданном множестве, и условия асимптотического вырождения популяции с вероятностью единица, также приведены оценки для математического ожидания и дисперсии времени вырождения популяции.

This work is devoted to the investigation of invariant sets of control systems with impulse influences that are parameterized by a metric dynamic system. Such systems describe various stochastic models of population dynamics, economy, quantum electronics and mechanics. We obtain the conditions of existence of invariant sets for the attainability set of system as well as conditions of asymptotic approach of system solutions to a given set. The obtained results are illustrated by examples of population dynamics which is subject to crafts, when the moments of trade preparations and the sizes of these preparations are random variables. For given models we investigate various dynamic modes of development which essentially differ from modes of the deterministic models and better display the processes occurring in real ecological systems. Conditions under which the population size is in the given set and conditions of asymptotic extinction of population with probability equal to one are received; estimations for a mathematical expectation and a dispersion of time of population extinction are also obtained.