Все выпуски

На основе кусочно-квадратичной интерполяции получены полуаналитические аппроксимации потенциала двойного слоя вблизи и на границе двумерной области. Для вычисления интегралов, образующихся после интерполяции функции плотности, используется точное интегрирование по переменной $\rho=\left(r^2-d^2\right)^{1/2}$, где $d$ и $r$ — расстояния от наблюдаемой точки до границы области и до граничной точки интегрирования соответственно. Доказана устойчивая сходимость таких аппроксимаций с кубической скоростью равномерно вблизи границы класса $C^5$, а также на самой границе. Также доказано, что использование для вычисления интегралов стандартных квадратурных формул не нарушает равномерной кубической сходимости аппроксимаций прямого значения потенциала на границе класса $C^6$. При некоторых упрощениях доказано, что использование для вычисления интегралов стандартных квадратурных формул влечет отсутствие равномерной сходимости аппроксимаций потенциала внутри области вблизи любой граничной точки. Теоретические выводы подтверждены результатами численного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круговой области.

On the basis of piecewise quadratic interpolation, semi-analytical approximations of the double layer potential near and on the boundary of a two-dimensional domain are obtained. To calculate the integrals formed after the interpolation of the density function, exact integration with respect to the variable $\rho=\left(r^2-d^2\right)^{1/2}$ is used, where $d$ and $r$ are the distances from the observed point to the boundary of the domain and to the boundary point of integration, respectively. The study proves the stable convergence of such approximations with the cubic velocity uniformly near the boundary of the class $C^5$, and also on the boundary itself. It is also proved that the use of standard quadrature formulas for calculating the integrals does not violate the uniform cubic convergence of approximations of the direct value of the potential on the boundary of the class $C^6$. With some simplifications, it is proved that the use of standard quadrature formulas for calculating the integrals entails the absence of uniform convergence of potential approximations inside the domain near any boundary point. The theoretical conclusions are confirmed by the results of the numerical solution of the Dirichlet problem for the Laplace equation in a circular domain.

На основе кусочно-квадратичной интерполяции получены полуаналитические аппроксимации нормальной производной потенциала простого слоя вблизи и на границе двумерной области. Для вычисления интегралов, образующихся после интерполяции функции плотности, используется точное интегрирование по переменной $\rho =(r^{2} -d^{2} )^{1/2} $, где $d$ и $r$ — расстояния от наблюдаемой точки до границы области и до граничной точки интегрирования соответственно. Доказана устойчивая сходимость таких аппроксимаций с кубической скоростью равномерно вблизи границы класса $C^{5}$, а также на самой границе. Также доказано, что на границе аппроксимации по аналогии с точной функцией терпят разрыв, величина которого пропорциональна значениям интерполированной функции плотности, но могут быть доопределены на границе до функций, непрерывных или на замкнутой внутренней, или на замкнутой внешней приграничной области. Теоретические выводы о равномерной сходимости подтверждены результатами вычисления нормальной производной вблизи границы единичного круга.

On the basis of piecewise quadratic interpolation, semi-analytical approximations of the normal derivative of the simple layer potential near and on the boundary of a two-dimensional domain are obtained. To calculate the integrals formed after the interpolation of the density function, exact integration over the variable $\rho=(r^{2}-d^{2})^{1/2} $ is used, where $d$ and $r$ are the distances from the observed point to the boundary of the domain and to the boundary point of integration, respectively. The study proves the stable convergence of such approximations with cubic velocity uniformly near the boundary of the class $C^{5}$, as well as on the boundary itself. It is also proved that, by analogy with the exact function, the approximations suffer a discontinuity at the boundary, the magnitude of which is proportional to the values of the interpolated density function, but they can be extended on the boundary to functions that are continuous either on a closed internal border domain or on a closed external one. Theoretical conclusions about uniform convergence are confirmed by the results of calculating the normal derivative near the boundary of a unit circle.

В работе рассмотрен локально-неравновесный процесс затвердевания переохлажденного бинарного расплава. В целях простоты предполагается, что затвердевающая бинарная система находится при постоянных температуре и давлении и имеет две фазы, соответствующие твердому и жидкому состояниям. Математическое описание процесса затвердевания основано на модели фазового поля, обобщающей подход Плаппа (M. Plapp, Phys. Rev. E 84, 031601 (2011)) на случай локально-неравновесных процессов. Для вывода термодинамически согласованных уравнений модели использован метод расширенной необратимой термодинамики в отличие от феноменологического подхода Плаппа. Другое различие с моделью Плаппа состоит в использовании в качестве динамической переменной концентрации, а не химпотенциала примеси. В рамках полученной модели показана эквивалентность описания процесса затвердевания через концентрационное поле и через химпотенциал системы. В силу малости времен релаксации представленная модель сводится к сингулярно-возмущенной системе уравнений в частных производных параболического типа, описывающих динамику фазового и концентрационного полей. В работе предполагается известным описание термодинамических равновесных состояний на основе экспериментально полученных потенциалов Гиббса.

Для проверки полученной модели проведено численное моделирование одномерной задачи затвердевания в приближении разбавленного расплава Si-As, ранее неоднократно исследовавшегося экспериментально. Чтобы численно решить систему сингулярно-возмущенных уравнений, в работе предложен градиентно-устойчивый явный метод интегрирования уравнений второго порядка точности по времени. Для сведения бесконечного пространственного интервала к конечному использован метод «периодического сдвига». Оценка устойчивости получена из численных экспериментов.

Из численного моделирования процесса затвердевания разбавленного расплава Si-As получены профили концентрации и фазового поля, а также коэффициент распределения примеси на фронте затвердевания в зависимости от величины переохлаждения. Для проверки адекватности результатов численных экспериментов использовано аналитическое выражение для коэффициента распределения как функции переохлаждения, полученное из точного решения локально-неравновесной модели с резкой границей. Исследовано влияние параметров модели на процесс затвердевания и поведение численных решений вблизи диффузной границы.

We consider a locally nonequilibrium process of solidification for a supercooled binary melt. For sake of simplicity, it is assumed, that the solidifying binary system is at constant temperature and pressure. Also there are two phases corresponding to the solid and the liquid states. The mathematical description of the solidification process is based on the phase-field model that generalizes the approach of Plapp (M. Plapp, Phys. Rev. E 84, 031601 (2011)) to the case of locally nonequilibrium processes. We use the method of extended irreversible thermodynamics to derive thermodynamically consistent equations of the model, in contrast to the phenomenological approach of Plapp. A concentration as a dynamic variable (and not the chemical potential of the impurity) is another difference from Plapp's model. The equivalence of describing the process of solidification through the concentration field and through the chemical potential of the system is shown in the framework of the resulting model. In view of the smallness of the relaxation times, the present model is reduced to the singular-perturbed system of partial differential parabolic equations describing the dynamics of concentration and phase fields. In the paper, it is assumed that the description of the thermodynamic equilibrium states on the basis of the experimentally obtained Gibbs potentials is given.

To verify the model, the numerical simulation of the one-dimensional problem of solidification of the melt was performed in the approximation of the diluted melt Si-As, which had been repeatedly investigated experimentally. In this paper, we propose a gradient-stable explicit method of integrating equations of the second order of accuracy in time in order to solve the system of singularly-perturbed equations numerically. We reduced an infinite space interval to a finite interval by the method of «periodic translation». The estimation of stability was performed using numerical experiments.

The concentration profile, the phase-field profile and the distribution coefficient of the impurity at the front of solidification depending upon the value of supercooling were obtained from the numerical simulation of the solidification process for diluted melt Si-As. An analytical expression for the distribution coefficient as a function of supercooling that follows from the locally nonequilibrium model with a sharp interface was used to test the adequacy of the results of numerical experiments. The effect of the model parameters on the solidification process and behavior of the numerical solutions near the diffuse boundary were investigated.