Все выпуски

В первой части определено и исследовано нелинейное метрическое пространство $\langle\overline{\rm G}^\infty[a,b],d\rangle$, состоящее из функций, действующих из отрезка $[a,b]$ в расширенную числовую ось $\overline{\mathbb R}$. По определению предполагается, что для любых $x\in\overline{\rm G}^\infty[a,b]$ и $t\in(a,b)$ существуют предельные числа $x(t-0),x(t+0)\in\overline{\mathbb R}$ (и числа $x(a+0),x(b-0)\in\overline{\mathbb R}$). Доказана полнота пространства. Оно является замыканием пространства ступенчатых функций в метрике $d$. Во второй части работы определено и исследовано нелинейное пространство ${\rm RL}[a,b]$. Всякая кусочно-гладкая функция, определенная на $[a,b]$, содержится в ${\rm RL}[a,b]$. Всякая функция $x\in{\rm RL}[a,b]$ имеет ограниченное изменение. Для нее определены все односторонние производные (со значениями в метрическом пространстве $\langle\overline{\mathbb R},\varrho\rangle$). Функция левосторонних производных непрерывна слева, а функция правосторонних производных непрерывна справа. Обе функции, доопределенные на весь отрезок $[a,b]$, принадлежат пространству $\overline{\rm G}^\infty[a,b]$. В заключительной части работы определены и исследованы два подпространства пространства ${\rm RL}[a,b]$. В подпространствах сформулированы и обсуждены перспективные постановки для простейших вариационных задач.

In the first part of the paper, the nonlinear metric space $\langle\overline{\rm G}^\infty[a,b],d\rangle$ is defined and studied. It consists of functions defined on the interval $[a,b]$ and taking the values in the extended numeric axis $\overline{\mathbb R}$. For any $x\in\overline{\rm G}^\infty[a,b]$ and $t\in(a,b)$ there are limit numbers $x(t-0),x(t+0) \in\overline{\mathbb R}$ (and numbers $x(a+0),x(b-0)\in\overline{\mathbb R}$). The completeness of the space is proved. It is the closure of the space of step functions in the metric $d$. In the second part of the work, the nonlinear space ${\rm RL}[a,b]$ is defined and studied. Every piecewise smooth function defined on $[a,b]$ is contained in ${\rm RL}[a,b]$. Every function $x\in{\rm RL}[a,b]$ has bounded variation. All one-sided derivatives (with values in the metric space $\langle\overline{\mathbb R},\varrho\rangle$) are defined for it. The function of left-hand derivatives is continuous on the left, and the function of right-hand derivatives is continuous on the right. Both functions extended to the entire interval $[a,b]$ belong to the space $\overline{\rm G}^\infty[a,b]$. In the final part of the paper, two subspaces of the space ${\rm RL}[a,b]$ are defined and studied. In subspaces, promising formulations for the simplest variational problems are stated and discussed.

Изучаются свойства дискретной вариационной задачи динамической аппроксимации в комплексном евклидовом (L + 1)-мерном пространстве E. Она обобщает известные задачи среднеквадратической полиномиальной аппроксимации функций, заданных своими отсчетами в конечном интервале. В рассматриваемой задаче аппроксимация последовательности y = {y_i}_L⁰ отсчетов функции y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh на сетке I_h осуществляется решениями однородных линейных дифференциальных или разностных уравнений заданного порядка n с постоянными, но, возможно, неизвестными коэффициентами. Тем самым показано, что в последнем случае задача аппроксимации включает в себя и задачу идентификации. Анализ ее особенностей - основная тема статьи. Ставится задача нахождения вектора коэффициентов  разностного уравнения Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, где k = 0,L − n. Оптимизируются коэффициенты  и начальные условия переходного процесса y этого уравнения. Цель оптимизации - наилучшая аппроксимация исследуемого динамического процесса y ∈ E. Критерий аппроксимации  минимум величины ||y − ŷ||²_E. Показано, что изучаемая вариационная задача сводится к задачам проектирования в E вектора y на ядра разностных операторов с неизвестными коэффициентами α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹. Здесь α - направление, S - сфера или гиперплоскость. Показана связь изучаемой задачи с задачами дискретизации и идентифицируемости. Тогда координаты вектора y ∈ E есть точное решение дифференциального уравнения на сетке I_h и y = ŷ. Дано сравнение изучаемой задачи вариационной идентификации с алгебраическими методами идентификации. Показано, что ортогональные дополнения к ядрам разностных операторов всегда имеют теплицев базис. Это приводит к быстрым проекционным алгоритмам вычислений. Показано, что задача нахождения оптимального вектора α сводится к задаче безусловной минимизации функционала идентификации, зависящего от направления  в Eⁿ⁺¹. Предложена итерационная процедура его минимизации на сфере с широкой областью и высокой скоростью сходимости. Изучаемую вариационную задачу можно применять при математическом моделировании в управлении и научных исследованиях. При этом на конечных интервалах может использоваться, в частности, возможность кусочно-линейной динамической аппроксимации сложных динамических процессов разностными и дифференциальными уравнениями указанного типа.

Some properties of the discrete variational problem of the dynamic approximation in the complex Euclidean (L + 1)-dimensional space are studied here. It generalizes familiar problems of the mean square polynomial approximation of the functions given on the finite interval in accordance with their references. In the problem under consideration sequence approximation y = {y_i}_L⁰ of the references of the function y(t) ∈ L²[0, T], T = Lh on the lattice I_h is achieved by solving homogeneous linear differential equations or difference equations of the given order n with constant but possibly unknown coefficients. Thus, it is shown that in the latter case the approximation problem also includes the identification problem. The analysis of its properties is the main subject of the article. The problem is set to find vector of coefficients  of difference equation Σ_n⁰ ŷ_i+k α_i = 0, where k = 0,L − n. Coefficients  and initial conditions of the transient process by of this equation are optimized. The optimization purpose is to achieve the best approximation of the dynamic process y ∈ E being considered here. The approximation criterion is a minimum of the quantity ||y − ŷ||²_E. The variational problem under study is shown to be reduced to the problem of projecting vector y in E on the kernels of the difference operators with unknown coefficients  α ∈ ω ⊂ S ⊂ Eⁿ⁺¹, where  is a direction, S is a sphere or a hyperplane. The problem under study is shown to be related to the problems of the discretization and identifiability. In this case vector coordinates y ∈ E is an exact solution of differential equation on the lattice I_h and y = ŷ. The problem of the variational identification is compared with algebraic methods of identification. The orthogonal complement to the kernels of the difference operators are shown to always have Toeplitz basis. This results in fast projecting algorithms of computation. The problem of finding optimal vector α is shown to be reduced to the problem of the absolute minimization of the identification functional depending on the direction  in Eⁿ⁺¹. The iterative procedure of its minimization on a sphere with wide domain and high speed of convergence is presented here. The variational problem considered here can be applied in mathematical modeling for control problem and research purposes. On the finite intervals, for example, it is possible to use piecewise-linear dynamic approximations of the complex dynamic processes with difference and differential equations of the specified type.

В статье для линейных автономных вполне регулярных дифференциально-алгебраических систем с многими соизмеримыми запаздываниями проведено исследование задачи оценки решения по результатам наблюдаемого выхода. Исследуемый класс вполне регулярных дифференциально-алгебраических систем с запаздыванием включает в себя классы линейных систем запаздывающего и нейтрального типов, кроме того, к вполне регулярным системам сводится анализ непрерывно-дискретных систем. Для линейных автономных вполне регулярных дифференциально-алгебраических систем с многими соизмеримыми запаздываниями определено свойство асимптотической наблюдаемости, характеризующееся тем, что все решения, порождающие один и тот же выходной сигнал, неразличимы в будущем. Сформулированы и доказаны условия асимптотической наблюдаемости, выраженные через параметры исходной системы. Для асимптотически наблюдаемых систем предложена процедура оценки решения, реализация которой состоит из следующих действий. Сначала, с использованием наблюдаемого выхода, в соответствие исходной системе ставится линейная автономная неоднородная асимптотически наблюдаемая система запаздывающего типа с неоднородной частью, зависящей он выхода. При этом решение новой системы однозначно определяет решение исходной системы. Затем строится преобразование, приводящее матрицы системы запаздывающего типа к определенному виду. После этого при помощи конечной цепочки наблюдателей осуществляется оценка решения. Результаты представленного исследования применимы к системам, которые не обладают свойством финальной наблюдаемости, что позволяет при моделировании соответствующих объектов реального мира существенно снизить требования к органам наблюдения.

In the article, a problem of solution estimation for linear autonomous completely regular differential-algebraic systems with many commensurate delays is investigated. The class of completely regular differential-algebraic systems with delay under study includes the classes of linear systems of delayed and neutral types; in addition, the analysis of continuous-discrete systems is reduced to completely regular systems. For linear autonomous completely regular differential-algebraic systems with many commensurate delays, the property of asymptotic observability is determined, which are characterized by the fact that all solutions generating the same output signal are indistinguishable in the future. Conditions for asymptotic observability expressed in terms of the parameters of the original system are formulated and proved. For asymptotically observable systems, a solution estimation procedure is proposed, the implementation of which consists of the following steps. First, using the observed output, a linear autonomous non-homogeneous asymptotically observable retarded type system with a non-homogeneous part depending on the output is put in correspondence with the original system. The solution of the new system uniquely determines the solution of the original system. Then a transformation is constructed that reduces the matrices of the retarded type system to a certain form. After that, with the help of a finite chain of observers, the solution is evaluated. The results of the presented study are applicable to systems that do not have the property of final observability, which makes it possible to significantly reduce the requirements for observing organs when modeling the corresponding objects of the real world.