Все выпуски

Рассматривается структурированная популяция, особи которой разделены на возрастные или типические группы, заданная нормальной автономной системой разностных уравнений. Для данной популяции исследуется задача оптимального сбора возобновляемого ресурса на конечном или бесконечном промежутках времени. Для популяции, эксплуатируемой на конечном промежутке, описана стратегия промысла, при которой достигается наибольшее значение общей стоимости изымаемого ресурса. Если же добыча ресурса происходит на неограниченном промежутке, то определяется средняя временная выгода и вычисляется ее значение при стационарном режиме эксплуатации; рассматриваются случаи, когда система имеет асимптотически устойчивую неподвижную точку или устойчивый цикл. Также описана стратегия промысла, которая является оптимальной среди других способов эксплуатации; показано, что при определенных условиях она является стационарной или отличается от стационарной только значением управления в начальный момент времени. Результаты работы проиллюстрированы на примере двухвозрастной эксплуатируемой популяции, в которой промысловому изъятию подвержены особи или младшей, или обеих возрастных групп.

We consider the structured population which individuals are divided into age or typical groups, set by the normal independent system of difference equations. For the given population the problem of optimum harvesting of a renewed resource on finite or infinite time intervals is investigated. For the population maintained on a finite interval, we describe a craft strategy at which the greatest value of a total cost of a withdrawn resource is reached. If resource extraction occurs on an unlimited interval, we define average time profit and calculate its value at a stationary mode of operation; cases when the system has an asymptotically steady motionless point or a steady cycle are considered. A craft strategy which is optimum among other ways of operation is also described; it is shown, that under certain conditions it is stationary or differs from stationary only in value of control during the initial moment of time. The results of work are illustrated by an example of two-age exploited population in which individuals of either younger or both age groups are subject to trade.

Рассматривается модель эксплуатируемой однородной популяции, заданная разностным уравнением, зависящим от случайных параметров. При отсутствии эксплуатации развитие популяции описывается уравнением $$X(k+1)=f\bigl(X(k)\bigr), \quad k=1,2,\ldots,$$ где $X(k)$ — размер популяции или количество биоресурса в момент времени $k,$ $f(x)$ — вещественная дифференцируемая функция, заданная на отрезке $I=[0,a],$ такая, что $f(I)\subseteq I.$ В моменты времени $k=1,2,\ldots$ из популяции извлекается случайная доля ресурса $\omega(k)\in\Omega\subseteq[0,1]$. Процесс сбора может быть остановлен, когда доля собранного ресурса превысит некоторое значение $u(k)\in[0,1)$, чтобы сохранить по возможности большую часть популяции. Тогда доля добываемого ресурса будет равна $\ell(k)=\min (\omega(k),u(k)).$ Средняя временная выгода $H_*$ от извлечения ресурса равна пределу среднего арифметического от количества добываемого ресурса $X(k)\ell(k)$ в моменты времени $1,2,\ldots,k$ при $k\to\infty.$ Решается задача выбора управления процессом промыслового изъятия, при котором значение $H_*$ можно оценить снизу с вероятностью единица по возможности наибольшим числом. Оценки средней временной выгоды существенно зависят от свойств функции $f(x),$ определяющей динамику популяции; данные оценки получены для трех классов уравнений с функциями $f(x),$ обладающими определенными свойствами. Результаты работы проиллюстрированы численными примерами, построенными методом динамического программирования на основании того, что исследуемый процесс эксплуатации популяции является марковским процессом принятия решений.

We consider a model of an exploited homogeneous population given by a difference equation depending on random parameters. In the absence of exploitation, the development of the population is described by the equation $$X(k+1)=f\bigl(X(k)\bigr), \quad k=1,2,\ldots,$$ where $X(k)$ is the population size or the amount of bioresources at time $k,$ $f(x)$ is a real differentiable function defined on $I=[0,a]$ such that $f(I)\subseteq I.$ At moments $k=1,2,\ldots$, a random fraction of the resource $\omega(k)\in\omega\subseteq[0,1]$ is extracted from the population. The harvesting process can be stopped when the share of the harvested resource exceeds a certain value of $u(k)\in[0,1)$ to keep as much of the population as possible. Then the share of the extracted resource will be equal to $\ell(k)=\min (\omega(k),u(k)).$ The average temporary benefit $H_*$ from the extraction of the resource is equal to the limit of the arithmetic mean from the amount of extracted resource $X(k)\ell(k)$ at moments $1,2,\ldots,k$ when $k\to\infty.$ We solve the problem of choosing the control of the harvesting process, in which the value of $H_*$ can be estimated from below with probability one, as large a number as possible. Estimates of the average time benefit depend on the properties of the function $f(x)$, determining the dynamics of the population; these estimates are obtained for three classes of equations with $f(x)$, having certain properties. The results of the work are illustrated, by numerical examples using dynamic programming based on, that the process of population exploitation is a Markov decision process.

Рассматривается модель популяции, подверженной промыслу, в которой размеры промысловых заготовок являются случайными величинами. При отсутствии эксплуатации развитие популяции описывается логистическим уравнением $\dot x =(a-bx)x,$ где коэффициенты $a$ и $b$ являются показателями роста популяции и внутривидовой конкуренции соответственно, а в моменты времени $\tau_k=kd$ из популяции извлекается некоторая случайная доля ресурса $\omega_k,$ $k=1,2,\ldots.$ Предполагаем, что имеется возможность влиять на процесс сбора ресурса таким образом, чтобы остановить заготовку в том случае, когда ее доля окажется достаточно большой (больше некоторого значения $u_k\in (0,1)$ в момент $\tau_k$), чтобы сохранить возможно больший остаток ресурса для увеличения размера следующего сбора. Исследуется задача оптимального способа эксплуатации популяции $\bar u=(u_1,\dots,u_k,\dots),$ при котором добываемый ресурс постоянно восстанавливается и значение средней временной выгоды можно оценить снизу по возможности наибольшим числом. Показано, что при недостаточном ограничении доли добываемого ресурса значение средней временной выгоды может равняться нулю для всех или для почти всех значений случайных параметров. Рассматривается также следующая задача: пусть задано значение $u\in(0,1),$ которым мы ограничиваем случайную долю ресурса $\omega_k,$ добываемого из популяции в моменты времени $\tau_k$, $k=1,2,\ldots.$ Требуется найти минимальное время между соседними изъятиями, необходимое для восстановление ресурса, чтобы можно было производить добычу до тех пор, пока доля извлеченного ресурса не достигнет значения $u$.

We consider the model of population subject to a craft, in which sizes of the trade preparations are random variables. In the absence of operation the population development is described by the logistic equation $\dot x = (a-bx) x,$ where coefficients $a $ and $b $ are indicators of growth of population and intraspecific competition respectively, and in time moments $ \tau_k=kd$ some random share of a resource $\omega_k,$ $k=1,2, \ldots,$ is taken from population. We assume that there is a possibility to exert influence on the process of resource gathering so that to stop preparation in the case when its share becomes big enough (more than some value $u_k\in (0,1)$ in the moment $\tau_k$) in order to keep the biggest possible rest of a resource and to increase the size of next gathering. We investigate the problem of an optimum way to control population $ \bar u = (u_1, \dots, u_k, \dots)$ at which the extracted resource is constantly renewed and the value of average time profit can be lower estimated by the greatest number whenever possible. It is shown that at insufficient restriction of a share of the extracted resource the value of average time profit can be equaled to zero for all or almost all values of random parameters. We also consider the following problem: let a value $u\in (0,1)$ be given, by which we limit a random share of a resource $ \omega_k, $ extracted from population in time moments $\tau_k,$ $k=1,2, \ldots .$ It is required to find minimum time between neighboring withdrawals, necessary for resource renewal, in order to make it possible to do extractions until the share of the taken resource does not reach the value $u$.

Рассматривается задача маршрутизации с условиями предшествования и функциями стоимости, зависящими от списка заданий, что отвечает потребностям инженерных приложений. В частности, упомянутые особенности имеются в постановках некоторых задач, возникающих в атомной энергетике и машиностроении. Исследуются вопросы, связанные с последовательным обходом мегаполисов и выполнением, при их посещении, некоторых (внутренних) работ. Предлагается процедура локального улучшения эвристических решений для задач ощутимой размерности, использующая вставки на основе динамического программирования. Последнее реализуется в виде варианта, не предусматривающего (при наличии условий предшествования) построение «полного» массива значений функции Беллмана. На этапе поиска локализации вставки предполагается ограничиваться вариантом беллмановской процедуры, доставляющей экстремум (локального) критерия без построения соответствующего решения в виде пары «маршрут-трасса». Более полная и более затратная в смысле ресурсов памяти процедура, включающая нахождение упомянутого (локально оптимального) решения, планируется после выбора локализации вставки.

The route problem with precedence conditions and cost functions depending on the jobs list is considered; these singularities correspond to engineering applications. In particular, the above-mentioned singularities exist in statements of some problems arising in nuclear energetics and in machines with numerical control. Problems involved in sequentially circuiting megalopolises and in carrying out some (interior) work during these circuits are investigated. A procedure for local improvement of heuristic solutions for problems of perceptible dimension is proposed; this procedure exploits insertions on the dynamic programming base. Dynamic programming is realized in the form of a variant that does not provide for construction of a “full” array of values of the Bellman function. The search for localization of an insertion involves restricting to the variant of the Bellman procedure that realizes the extremum of the (local) criterion without constructing a corresponding solution in the form of a route-track pair. A more complete and more cost-intensive (in the sense of memory resources) procedure including determination of the above-mentioned (local optimal) solution is planned after the choice of the insertion localization.