Все выпуски

В данной статье для одного дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка с оператором Бесселя в прямоугольной области сформулированы две нелокальные начально-граничные задачи. Исследована корректность одной из поставленных задач. При этом применением метода разделения переменных к изучаемой задаче получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения высокого четного порядка. Доказана самосопряженность последней задачи, откуда следует существование системы ее собственных функций, а также ортонормированность и полнота этой системы. Далее, построена функция Грина спектральной задачи, с помощью чего она эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром. С помощью этого интегрального уравнения и теоремы Мерсера исследована равномерная сходимость некоторых билинейных рядов, зависящих от найденных собственных функций. Установлен порядок коэффициентов Фурье. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Доказана равномерная сходимость этого ряда, а также рядов, полученных из него почленным дифференцированием. Методом спектрального анализа доказана единственность решения задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.

In the present paper, two non-local initial-boundary value problems have been formulated for a partial differential equation of high even order with a Bessel operator in a rectangular domain. The correctness of one of the considered problems has been investigated. To do this, applying the method of separation of variables to the problem under consideration, the spectral problem was obtained for an ordinary differential equation of high even order. The self-adjointness of the last problem was proved, which implies the existence of the system of its eigenfunctions, as well as orthonormality and completeness of this system. Further, the Green's function of the spectral problem was constructed, with the help of which it was equivalently reduced to the Fredholm integral equation of the second kind with symmetrical kernel. Using this integral equation and Mercer's theorem, the uniform convergence of some bilinear series depending on found eigenfunctions has been studied. The order of the Fourier coefficients was established. The solution of the considered problem has been written as the sum of a Fourier series with respect to the system of eigenfunctions of the spectral problem. The uniform convergence of this series and also the series obtained from it by term-by-term differentiation was proved. Using the method of spectral analysis, the uniqueness of the solution of the problem was proved. An estimate for the solution of the problem was obtained, from which its continuous dependence on the given functions follows.

Вопрос о возможности голоморфного продолжения в область функций, заданных на всей границе этой области, достаточно хорошо изучен. Представляет интерес задача описания функций, заданных на части границы, которые могут быть голоморфно продолжены в фиксированную область. В статье переформулируем рассматриваемую задачу: При выполнении каких условий можно голоморфно продолжить в матричный шар, функции заданных на части остова? Описаны области, в которые голоморфно продолжается интеграл типа Бохнера–Хуа Ло-кена для матричного шара. Получен основной результат нашей работы — критерий голоморфного продолжения в матричной шар функций, заданных на части остова матричного шара. Кратко излагаются доказательства нескольких основных результатов. Приводятся некоторые недавние достижения. Сформулированы нерешенные задачи. Результаты, полученные в этой статье, являются общими случаями результатов Л.А. Айзенберга, А.М. Кытманова, Г. Худайберганова.

The question of the possibility of holomorphic continuation into some domain of functions defined on the entire boundary of this domain has been well studied. The problem of describing functions defined on a part of the boundary that can be extended holomorphically into a fixed domain is attracting more interest. In this article, we reformulate the problem under consideration: Under what conditions can we extend holomorphically to a matrix ball the functions given on a part of its skeleton? We describe the domains into which the integral of the Bochner—Hua Luogeng type for a matrix ball can be extended holomorphically. As the main result, we present the criterion of holomorphic continuation into a matrix ball of functions defined on a part of the skeleton of this matrix ball. The proofs of several results are briefly presented. Some recent advances are highlighted. The results obtained in this article generalize the results of L.A. Aizenberg, A.M. Kytmanov and G. Khudayberganov.