Все выпуски

Сопоставляя реальному пространству декартову систему координат (линейное векторное пространство), И. Ньютон рассматривал его как вместилище и не наделял какой-либо внутренней структурой. Такой подход приводит к феноменологическому описанию экспериментально наблюдаемых силовых полей и вынуждает каждому силовому полю сопоставлять источник. Некорректная, однако, весьма эффективная в вопросах статики интерпретация алгебры Клиффорда в виде аналитической геометрии, получившая повсеместное признание благодаря усилиям Хевисайда, не является алгеброй в ее математическом понимании. Следствием этого является, например, отсутствие в классической механике меры (спин), наблюдаемой экспериментально.
В отличие от такого подхода в работе реальному пространству сопоставляется векторное пространство, обладающее алгеброй Клиффорда, что позволяет вводить меры, связанные с понятиями триада, четыреада, и допускают совместное рассмотрение большого количества трехмерных полей. Объектам реальности, которые обозначаются терминами «заряд», «точечная масса», сопоставляются силовые поля, объясняющие результаты экспериментов, лежавших в основе квантовой механики в прошлом веке. Особенности силовых полей отнесены к особенностям метрики и допускают существование статически устойчивых образований без каких-либо дополнительных постулатов.

Assigning the Cartesian coordinate system to real space (linear vector space), I. Newton considered it as a container and didn't associate it with any internal structure. Such an approach leads to the phenomenological description of experimentally observed force fields and compels to attribute a source to each force field. Incorrect (but effective in the aspect of static) interpretation of Clifford algebra in the form of analytical geometry which gained universal recognition thanks to Heaviside's efforts is not algebra in its mathematical understanding. A corollary of this fact is, for example, the absence of concept of measure (spin) in classical mechanics that is experimentally observed.
In contrast to such approach, we assign the vector space having Clifford algebra to real space. This allows us to introduce measures connected with concepts of triad and quadruple and permits a joint consideration of a large number of three-dimensional fields. With objects of reality which are designated by terms of charge and dot mass we associate the force fields explicating the results of experiments that formed the basis of quantum mechanics last century. Features of force fields are referred to as features of a metric and permit existence of statically steady formations without any additional postulates.

В статье выполнен теоретический анализ основополагающих уравнений, выражающих фундаментальные законы сохранения в континуальном и дисконтинуальных приближениях, и методов решения задач гидродинамики как одного из важнейших подразделов механики сплошных сред. Данная работа является попыткой более точно описать физико-химические макропроцессы. Показано, что для компьютерного моделирования больше всего подходят уравнения, которые выражают законы сохранения при естественных ограничениях на минимальные пространственный и временной масштабы, то есть уравнения без частных производных и ограничений на гладкость решений. На примере уравнений неразрывности и теплопроводности, приведен феноменологический способ построения и численного решения основополагающих уравнений, и сравнение с традиционным подходом.

The article presents a theoretical analysis of the governing equations expressing the fundamental conservation laws in the continuum and discontinuum approximations, and methods for solving problems of hydrodynamics as one of the most important subfields of continuum mechanics. This article is an attempt to more accurately describe physicochemical macro-processes. It is shown that the most suitable equations for computer modeling are the conservation laws under natural constraints on the minimum spatial and time scales, i.e., equations without partial derivatives and constraints on the solution smoothness. Using the continuity and thermal conductivity equations, a phenomenological method for constructing and numerically solving the governing equations is presented, and comparison with the traditional approach is given.

В работе рассмотрен локально-неравновесный процесс затвердевания переохлажденного бинарного расплава. В целях простоты предполагается, что затвердевающая бинарная система находится при постоянных температуре и давлении и имеет две фазы, соответствующие твердому и жидкому состояниям. Математическое описание процесса затвердевания основано на модели фазового поля, обобщающей подход Плаппа (M. Plapp, Phys. Rev. E 84, 031601 (2011)) на случай локально-неравновесных процессов. Для вывода термодинамически согласованных уравнений модели использован метод расширенной необратимой термодинамики в отличие от феноменологического подхода Плаппа. Другое различие с моделью Плаппа состоит в использовании в качестве динамической переменной концентрации, а не химпотенциала примеси. В рамках полученной модели показана эквивалентность описания процесса затвердевания через концентрационное поле и через химпотенциал системы. В силу малости времен релаксации представленная модель сводится к сингулярно-возмущенной системе уравнений в частных производных параболического типа, описывающих динамику фазового и концентрационного полей. В работе предполагается известным описание термодинамических равновесных состояний на основе экспериментально полученных потенциалов Гиббса.

Для проверки полученной модели проведено численное моделирование одномерной задачи затвердевания в приближении разбавленного расплава Si-As, ранее неоднократно исследовавшегося экспериментально. Чтобы численно решить систему сингулярно-возмущенных уравнений, в работе предложен градиентно-устойчивый явный метод интегрирования уравнений второго порядка точности по времени. Для сведения бесконечного пространственного интервала к конечному использован метод «периодического сдвига». Оценка устойчивости получена из численных экспериментов.

Из численного моделирования процесса затвердевания разбавленного расплава Si-As получены профили концентрации и фазового поля, а также коэффициент распределения примеси на фронте затвердевания в зависимости от величины переохлаждения. Для проверки адекватности результатов численных экспериментов использовано аналитическое выражение для коэффициента распределения как функции переохлаждения, полученное из точного решения локально-неравновесной модели с резкой границей. Исследовано влияние параметров модели на процесс затвердевания и поведение численных решений вблизи диффузной границы.

We consider a locally nonequilibrium process of solidification for a supercooled binary melt. For sake of simplicity, it is assumed, that the solidifying binary system is at constant temperature and pressure. Also there are two phases corresponding to the solid and the liquid states. The mathematical description of the solidification process is based on the phase-field model that generalizes the approach of Plapp (M. Plapp, Phys. Rev. E 84, 031601 (2011)) to the case of locally nonequilibrium processes. We use the method of extended irreversible thermodynamics to derive thermodynamically consistent equations of the model, in contrast to the phenomenological approach of Plapp. A concentration as a dynamic variable (and not the chemical potential of the impurity) is another difference from Plapp's model. The equivalence of describing the process of solidification through the concentration field and through the chemical potential of the system is shown in the framework of the resulting model. In view of the smallness of the relaxation times, the present model is reduced to the singular-perturbed system of partial differential parabolic equations describing the dynamics of concentration and phase fields. In the paper, it is assumed that the description of the thermodynamic equilibrium states on the basis of the experimentally obtained Gibbs potentials is given.

To verify the model, the numerical simulation of the one-dimensional problem of solidification of the melt was performed in the approximation of the diluted melt Si-As, which had been repeatedly investigated experimentally. In this paper, we propose a gradient-stable explicit method of integrating equations of the second order of accuracy in time in order to solve the system of singularly-perturbed equations numerically. We reduced an infinite space interval to a finite interval by the method of «periodic translation». The estimation of stability was performed using numerical experiments.

The concentration profile, the phase-field profile and the distribution coefficient of the impurity at the front of solidification depending upon the value of supercooling were obtained from the numerical simulation of the solidification process for diluted melt Si-As. An analytical expression for the distribution coefficient as a function of supercooling that follows from the locally nonequilibrium model with a sharp interface was used to test the adequacy of the results of numerical experiments. The effect of the model parameters on the solidification process and behavior of the numerical solutions near the diffuse boundary were investigated.