Все выпуски

Рассматривается вероятностная модель, заданная разностным уравнением $$x_{n+1}=f(\omega_n,x_n), \quad (\omega_n,x_n)\in \Omega\times [a,b], \quad n=0,1,\dots, \qquad\qquad(1)$$ где $\Omega$ - заданное множество с сигма-алгеброй подмножеств $\widetilde{\mathfrak A},$ на которой определена вероятностная мера $\widetilde \mu;$ $\mu$ - продолжение меры $\widetilde \mu$ на сигма-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами. Исследуются инвариантные множества и аттракторы уравнения со случайными параметрами $(1).$ Получены условия, при которых заданное множество является максимальным аттрактором. Показано, что внутри инвариантного множества $A\subseteq [a,b]$ могут существовать решения, хаотические с вероятностью единица. Это происходит в случае, когда существуют $m_i\in\mathbb N$ и множества $\Omega_i\subset\Omega$ такие, что $\mu(\Omega_i)>0,$ $i=1,2,$ и ${\rm cl} \,f^{m_1}(\Omega_1,A)\cap \,{\rm cl} f^{m_2}(\Omega_2,A)=\varnothing.$ Решения, хаотические с вероятностью единица, также наблюдаются в случае, когда уравнение $(1)$ либо не имеет ни одного цикла, либо все циклы отталкивающие с вероятностью единица. Результаты работы проиллюстрированы на примере непрерывно-дискретной вероятностной модели динамики изолированной популяции; для данной модели исследованы различные динамические режимы развития, которые имеют определенные отличия от режимов детерминированных моделей и более полно отображают процессы, происходящие в реальных физических системах.

We consider the probability model defined by the difference equation $$x_{n+1}=f(\omega_n,x_n), \quad (\omega_n,x_n)\in \Omega\times [a,b], \quad n=0,1,\dots, \qquad\qquad (1)$$ where $\Omega$ is a given set with sigma-algebra of subsets $\widetilde{\mathfrak A},$ on which a probability measure $\widetilde \mu$ is defined. Let $\mu $ be a continuation of the measure $\widetilde \mu $ on the sigma-algebra generated by cylindrical sets. We study invariant sets and attractors of the equation with random parameters $(1).$ We receive conditions under which a given set is the maximal attractor. It is shown that, in invariant set $A\subseteq [a,b]$, there can be solutions, which are chaotic with probability one. It is observed in the case when exist an $m_i\in\mathbb N $ and sets $\Omega_i\subset\Omega $ such that $ \mu (\Omega_i)> 0,$ $i=1,2,$ and ${\rm cl}\, f^{m_1}(\Omega_1,A)\cap \,{\rm cl}\, f^{m_2}(\Omega_2,A)=\varnothing.$ It is shown, that solutions, chaotic with probability one, exist also in the case when the equation $(1)$ either has no any cycle, or all cycles are unstable with probability one. The results of the paper are illustrated by the example of a continuous-discrete probabilistic model of the dynamics of an isolated population; for this model we investigate different modes of dynamic development, which have certain differences from the modes of determined models and describe the processes in real physical systems more exhaustively.

Данная работа посвящена исследованию инвариантных множеств управляемых систем с импульсными воздействиями, параметризованных метрической динамической системой. Такими системами описываются различные стохастические модели популяционной динамики, экономики, квантовой электроники и механики. Получены условия существования инвариантных множеств для множества достижимости системы и условия асимптотического приближения решений системы к заданному множеству. Результаты работы проиллюстрированы на примерах развития популяции, подверженной промыслу, когда моменты и размеры промысловых заготовок являются случайными величинами. Для данных моделей исследованы различные динамические режимы развития, которые существенно отличаются от режимов детерминированных моделей и более полно отображают процессы, происходящие в реальных экологических системах. Получены условия, при которых размер популяции находится в заданном множестве, и условия асимптотического вырождения популяции с вероятностью единица, также приведены оценки для математического ожидания и дисперсии времени вырождения популяции.

This work is devoted to the investigation of invariant sets of control systems with impulse influences that are parameterized by a metric dynamic system. Such systems describe various stochastic models of population dynamics, economy, quantum electronics and mechanics. We obtain the conditions of existence of invariant sets for the attainability set of system as well as conditions of asymptotic approach of system solutions to a given set. The obtained results are illustrated by examples of population dynamics which is subject to crafts, when the moments of trade preparations and the sizes of these preparations are random variables. For given models we investigate various dynamic modes of development which essentially differ from modes of the deterministic models and better display the processes occurring in real ecological systems. Conditions under which the population size is in the given set and conditions of asymptotic extinction of population with probability equal to one are received; estimations for a mathematical expectation and a dispersion of time of population extinction are also obtained.