Все выпуски

Для динамической системы, управляемой в условиях помех, рассматривается задача оптимизации гарантированного результата. Особенностью задачи является наличие функциональных ограничений на помехи, при которых свойство замкнутости множества допустимых помех относительно операции «склейки» двух его элементов, вообще говоря, отсутствует. Это обстоятельство препятствует непосредственному применению методов теории дифференциальных игр для исследования задачи и тем самым приводит к необходимости их походящей модификации. В работе предложено новое понятие неупреждающей стратегии управления (квазистратегии). Доказано, что соответствующий функционал оптимального гарантированного результата удовлетворяет принципу динамического программирования. Как следствие, установлены так называемые свойства $u$- и $v$-стабильности этого функционала, которые в дальнейшем позволят построить конструктивное решение задачи в позиционных стратегиях.

For a dynamical system controlled under conditions of disturbances, a problem of optimizing the guaranteed result is considered. A feature of the problem is the presence of functional constraints on disturbances, under which, in general, the set of admissible disturbances is not closed with respect to the operation of “gluing up” of two of its elements. This circumstance does not allow to apply directly the methods developed within the differential games theory for studying the problem and, thus, leads to the necessity of modifying them appropriately. The paper provides a new notion of a non-anticipative control strategy. It is proved that the corresponding functional of the optimal guaranteed result satisfies the dynamic programming principle. As a consequence, so-called properties of $u$- and $v$-stability of this functional are established, which may allow, in the future, to obtain a constructive solution of the problem in the form of feedback (positional) controls.

Для динамической системы, подверженной воздействиям управления и помехи и содержащей последействие в управляющих силах, рассматривается задача об управлении с оптимальным гарантированным результатом для показателя качества, представляющего собой евклидову норму совокупности отклонений движения системы в заданные моменты времени от заданных целей. На основе функциональной трактовки, опирающейся на своеобразный прогноз движений, исходная задача сводится к вспомогательной дифференциальной игре для системы без запаздывания и с терминальной платой. Функция цены этой игры вычисляется на базе конструкции выпуклых сверху оболочек вспомогательных функций из метода стохастического программного синтеза, оптимальные стратегии строятся методом экстремального сдвига на сопутствующие точки. Рассматриваются иллюстрирующие примеры, приводятся результаты численных экспериментов.

For a dynamical system under control and disturbances, and with delay in control, the problem of control with the optimal guaranteed result is considered for a quality index which is the Euclidean norm of the set of deviations of a system motion at the given instants from the given targets. On the basis of a functional treatment basing on a proper prediction of the motion the problem is reduced to an auxiliary differential game for a system without delay and with a terminal quality index. The value of this game is calculated from the construction of upper convex hulls of auxiliary functions from the method of stochastic program synthesis, optimal strategies are formed by the method of an extremal shift to the corresponding points. Illustrating examples and results of numerical experiments are presented.

Рассматриваются две задачи нелинейного гарантированного оценивания фазовых состояний динамических систем. Предполагается, что неизвестные измеримые по $t$ возмущения линейно входят в уравнение движения и аддитивно — в уравнения измерения. Эти возмущения стеснены нелинейными интегральными функционалами, один из которых является аналогом функционала обобщенной работы. Исследуемая задача состоит в построении информационных множеств по данным измерения, содержащих истинное положение траектории. Используется подход динамического программирования. Если для первого функционала требуется решить нелинейное уравнение в частных производных первого порядка, что не всегда возможно, то для функционала обобщенной работы достаточно найти решение линейного уравнения Ляпунова первого порядка, что существенно упрощает задачу. Тем не менее, даже в этом случае приходится налагать дополнительные условия на параметры системы для того, чтобы траектория системы, соответствующая наблюдаемому сигналу, существовала. Если уравнение движения линейно по фазовой переменной, то многие предположения выполняются автоматически. Для этого случая обсуждается вопрос о взаимной оценке сверху и снизу информационных множеств по включению для разных функционалов. В заключение рассмотрен наиболее прозрачный линейно-квадратичный случай. Изложение иллюстрируется примерами.

Two problems of nonlinear guaranteed estimation for states of dynamical systems are considered. It is supposed that unknown measurable in $t$ disturbances are linearly included in the equation of motion and are additive in the measurement equations. These disturbances are constrained by nonlinear integral functionals, one of which is analog of functional of the generalized work. The studied problem consists in creation of the information sets according to measurement data containing the true position of the trajectory. The dynamic programming approach is used. If the first functional requires solving a nonlinear equation in partial derivatives of the first order which is not always possible, then for functional of the generalized work it is enough to find a solution of the linear Lyapunov equation of the first order that significantly simplifies the problem. Nevertheless, even in this case it is necessary to impose additional conditions on the system parameters in order for the system trajectory of the observed signal to exist. If the motion equation is linear in state variable, then many assumptions are carried out automatically. For this case the issue of mutual approximation of information sets via inclusion for different functionals is discussed. In conclusion, the most transparent linear quadratic case is considered. The statement is illustrated by examples.

Теория управления - активно развивающийся в настоящее время раздел современной математики. Класс задач, изучаемый в рамках этой теории, достаточно обширен и включает как вопросы, связанные с существованием решений, так и вопросы, связанные с эффективными способами построения управляющих воздействий. Один из подходов к решению задач управления при неполной информации был предложен в основополагающей статье Ю.С. Осипова, опубликованной в журнале «Успехи математических наук» в 2006 году. В дальнейшем этот подход, названный методом пакетов программ, получил развитие, в частности, в статьях, цитированных в настоящей работе. Указанный подход основан на подходящей модификации известного в теории позиционных дифференциальных игр метода неупреждающих стратегий (квазистратегий) для решения задач управления при неизвестном начальном состоянии. Как известно, квазистратегии, отражающие свойства вольтерровости программных реализаций управлений с обратной связью на соответствующие программные возмущения, ориентированы на исследование задач с известным начальным состоянием при наличии неизвестных динамических возмущений. В стандартных задачах управления с неполной информацией динамические возмущения, как правило, отсутствуют, а неполнота информации обусловлена дефицитом информации о начальном состоянии системы. Аналогом свойств неупреждаемости для задач с неизвестными начальными состояниями и стали пакеты программ. Следует отметить, что во всех предыдущих исследованиях, связанных с методом пакетов программ, рассматривались задачи наведения на одно-единственное целевое множество. В настоящей работе для линейной стационарной управляемой динамической системы рассмотрена задача гарантированного наведения на семейство целевых множеств в случае неполной информации о начальном состоянии. Установлен критерий разрешимости этой задачи, основанный на методе пакетов программ, и приведен иллюстрирующий пример.

Control theory is a section of modern mathematics being actively developed at present time. The class of problems investigated within the framework of this theory is quite extensive and includes issues related to the existence of solutions as well as issues related to the effective methods for constructing controls. One of the approaches to solving control problems under lack of information was suggested by Yu.S. Osipov in the fundamental paper published in the Russian Mathematical Surveys in 2006. Later, this approach, called the method of program packages, was developed, in particular, in the articles cited in this paper. This approach is based on a suitable modification of the method of non-anticipatory strategies (quasi-strategies) for solving control problems with unknown initial states. As is known, quasi-strategies reflecting the Volterra properties of program realizations of closed-loop controls in corresponding program disturbances are oriented to the investigation of problems with known initial states under the presence of unknown dynamical disturbances. Such disturbances are usually absent in standard control problems with incomplete information and incompleteness of information is due to a lack of information about the initial state of the system. So, program packages became an analogue of the properties of nonanticipativeness for problems with unknown initial states. It should be noted that in all previous works related to the method of program packages, the guidance problems to one single target set were considered. In the present paper the guaranteed guidance problem to a collection of target sets under incomplete information about the initial state is considered for a linear autonomous control dynamical system. The criterion for the solvability of that problem is established. It is based on the method of program packages. An illustrative example is given.

Рассматривается задача управления при наличии динамических помех. Приводится пример управляемой системы и позиционной стратегии, для которых пучок конструктивных идеальных движений, формирующий гарантированный результат, существенно изменяется при сужении множества допустимых помех до программных помех.

The control problem under dynamical disturbance is considered. An example is given of the control system and a feedback control that generates the game bundle of constructive ideal motions wider then the union of all program bundles.

Для задачи управления в условиях динамических помех изучается влияние, которое оказывает на оптимальный гарантированный результат сужение класса помех до программных помех. В частности, приводится пример задачи оптимального управления, в которой оптимальный гарантированный результат существенно изменяется при таком сужении множества допустимых помех.

The control problem under dynamical disturbance is considered. The example of the control system and the terminal type quality index, such that optimal guarantee decrease substantially while narrowing the set of allowed disturbances to the programm ones is given.