Все выпуски

Для дифференциальной игры многих лиц найдены условия того, что заданное многозначное отображение в каждой точке есть множество выигрышей в ситуациях равновесия по Нэшу. Данное условие выписано в инфинитезимальной форме. Также найдены достаточные условия, при которых набор непрерывных функций обеспечивает равновесие по Нэшу. Данное условие обобщает метод, основанный на системе уравнений типа Гамильтона–Якоби.

We study Nash equilibrium for a differential game with many players. The condition on a multivalued map under which any value of this map is a set of Nash equilibrium payoffs is obtained. This condition is written in infinitesimal form. The sufficient condition for the given complex of continuous functions to provide a Nash equilibrium is obtained. This condition is a generalization of the method based on system of Hamilton–Jacobi equations.

Рассматривается вопрос о существовании рекуррентных и почти рекуррентных сечений многозначных отображений R ∋ t → F(t) ∈ compU с непустыми компактными образами F(t) в полном метрическом пространстве U. На множестве compU вводится метрика Хаусдорфа dist. Рекуррентные и почти рекуррентные многозначные отображения определяются как функции со значениями в метрическом пространстве (compU, dist). Доказано существование рекуррентных (почти рекуррентных) сечений многозначных рекуррентных (соответственно, почти рекуррентных) равномерно абсолютно непрерывных отображений. Рассматриваются также отображения R ∋ t → F(t), образы которых состоят из конечного числа точек (зависящего от t). Доказано, что если такое отображение почти рекуррентно, то у него существует почти рекуррентное сечение. Многозначное рекуррентное отображение, образы F(t) которого для всех t ∈ R состоят не более чем из n точек (где n ∈ N), имеет рекуррентное сечение. Если образы многозначного рекуррентного (почти рекуррентного) отображения t → F(t) при всех t ∈ R состоят из n точек, то все n непрерывных сечений отображения F рекуррентны (почти рекуррентны).

In the paper, we consider the problem of existence of recurrent and almost recurrent selections of multivalued mappings R ∋ t → F(t) ∈ compU with nonempty compact sets F(t) in a complete metric space U. The set compU is equipped with the Hausdorff metric dist. Recurrent and almost recurrent multivalued maps are defined as the functions with values in the metric space (compU, dist). It is proved that there are recurrent (almost recurrent) selections of multivalued recurrent (almost recurrent) uniformly absolutely continuous maps. We also consider mappings R ∋ t → F(t) with the sets F(t) consisting of a finite number of points (the number depends on the t ∈ R). We prove that if such a map is almost recurrent, then it has an almost recurrent selection. A multivalued recurrent mapping t → F(t) with sets F(t) consisting of at most n points (where n ∈ N) has a recurrent selection. If the sets F(t) of a multivalued recurrent (almost recurrent) mapping t → F(t) consist of n points for all t ∈ R, then all n continuous selections of the map F are recurrent (almost recurrent).

В работе предложено обобщение теоремы Надлера о неподвижных точках для многозначных отображений действующих в метрических пространствах. Полученный результат позволяет изучать существование неподвижных точек у многозначных отображений, которые не обязательно являются сжимающими, и даже непрерывными, относительно метрики Хаусдорфа, и образами которых могут быть произвольные множества соответствующего метрического пространства. Упомянутый результат можно использовать для исследования дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений с разрывами, а также включений, правые части которых порождены многозначными отображениями с произвольными образами. Во второй части работы, в качестве приложения, получены условия существования и продолжаемости решений задачи Коши для дифференциального включения с некомпактной правой частью в пространстве Rⁿ.

A generalization of the Nadler fixed point theorem for multi-valued maps acting in metric spaces is proposed. The obtained result allows to study the existence of fixed points for multi-valued maps that have as images any arbitrary sets of the corresponding metric space and are not necessarily contracting, or even continuous, with respect to the Hausdorff metric. The mentioned result can be used for investigating differential and functional-differential equations with discontinuities and inclusions generated by multi-valued maps with arbitrary images. In the second part of the paper, as an application, conditions of existence and continuation of solutions to the Cauchy problem for a differential inclusion with noncompact in Rⁿ right-hand side are derived.

Рассматриваются многозначные отображения, действующие из частично упорядоченного пространства $(X,\leq)$ в множество $Y$, на котором задано рефлексивное бинарное отношение $\vartheta$ (это отношение не предполагается ни антисимметричным, ни транзитивным, т.е. $\vartheta$ не является порядком в $Y$). Для таких отображений введены аналоги понятий накрывания и монотонности. С использованием этих понятий исследуется включение $F(x)\ni \tilde{y}$, где $F\colon X \rightrightarrows Y$, $\tilde{y}\in Y$. Предполагается, что для некоторого заданного $x_0\in X$ существует $y_{0} \in F(x_{0})$ такой, что $(\tilde{y},y_{0}) \in \vartheta$. Получены условия существования решения $x\in X$ изучаемого включения, удовлетворяющего неравенству ${x\leq x_0}$, и условия существования минимального и наименьшего решений. Также определяется и исследуется свойство устойчивости решений рассматриваемого включения к изменениям многозначного отображения $F$ и элемента $\widetilde{y}$. А именно, рассматривается последовательность «возмущенных» включений $F_i(x)\ni \tilde{y}_i$, $i\in \mathbb{N}$, получены условия, при которых эти включения имеют решения $x_i \in X$ и для любой возрастающей последовательности $\{i_n\}$ натуральных чисел выполнено $\sup_{n \in \mathbb{N}}\{x_{i_{n}}\}= x$, где $x\in X$ — решение исходного включения.

Set-valued mappings acting from a partially ordered space $X=(X,\leq)$ to a set $Y$ on which a reflexive binary relation $\vartheta$ is given (this relation is not supposed to be antisymmetric or transitive, i.e., $\vartheta$ is not an order in $Y$), are considered. For such mappings, analogues of the concepts of covering and monotonicity are introduced. These concepts are used to study the inclusion $F(x)\ni \tilde{y},$ where $F\colon X \rightrightarrows Y,$ $\tilde{y}\in Y.$ It is assumed that for some given $x_0 \in X,$ there exists $y_{0} \in F(x_{0})$ such that $(\tilde{y},y_{0}) \in \vartheta.$ Conditions for the existence of a solution $x\in X$ satisfying the inequality $x\leq x_0$ are obtained, as well as those for the existence of minimal and least solutions. The property of stability of solutions of the considered inclusion to changes of the set-valued mapping $F$ and of the element $\widetilde{y}$ is also defined and investigated. Namely, the sequence of “perturbed” inclusions $F_i(x)\ni \tilde{y}_i,$ $i\in \mathbb{N},$ is assumed, and the conditions of existence of solutions $x_i \in X$ such that for any increasing sequence of integers $\{i_n\}$ there holds $\sup_{n \in \mathbb{N}}\{x_{i_{n}}\}= x,$ where $x \in X$ is a solution of the initial inclusion, are derived.

В данной работе изучаются производные множества по направлениям и дифференциалы заданного многозначного отображения. Указаны различные соотношения между производными множествами по направлениям и дифференциалами многозначного отображения. Установлено, что каждое компактное подмножество множества нижних производных может быть использовано для нижней аппроксимации заданного многозначного отображения. Вычисляются и сравниваются верхние и нижние контингентные конусы некоторых множеств на плоскости.

In this paper directional derivative sets and differentials of a given set valued map are studied. Different type relations between directional derivative sets and differentials of a set valued map are specified. It is established that every compact subset of lower derivative set can be used for lower approximation of given set valued map. Upper and lower contingent cones of some plane sets are calculated and compared.

Рассматривается задача Коши для уравнений Навье–Стокса над полосой ${\mathbb R}^3 \times [0,T]$ с временем $T>0$ в пространственно-периодической постановке. Доказывается, что задача индуцирует открытые инъективные отображения ${\mathcal A}_s\colon B^{s}_1 \to B^{s-1}_2$, где $B^{s}_1$, $B^{s-1}_2$ суть элементы шкал специально построенных функциональных пространств Бохнера–Соболева, параметризованных индексом гладкости $s \in \mathbb N$. Наконец, мы доказываем, что отображение ${\mathcal A}_s$ сюръективно тогда и только тогда, когда прообраз ${\mathcal A}_s ^{-1}(K)$ любого предкомпактного множества $K$ из образа отображения ${\mathcal A}_s$ ограничен в пространстве Бохнера $L^{\mathfrak s} ([0,T], L ^{{\mathfrak r}} ({\mathbb T}^3))$ с показателями Ладыженской–Проди–Серрина ${\mathfrak s}$, ${\mathfrak r}$.

We consider the initial value problem for the Navier–Stokes equations over ${\mathbb R}^3 \times [0,T]$ with time $T>0$ in the spatially periodic setting. We prove that it induces open injective mappings ${\mathcal A}_s\colon B^{s}_1 \to B^{s-1}_2$ where $B^{s}_1$, $B^{s-1}_2$ are elements from scales of specially constructed function spaces of Bochner–Sobolev type parametrized with the smoothness index $s \in \mathbb N$. Finally, we prove that a map ${\mathcal A}_s$ is surjective if and only if the inverse image ${\mathcal A}_s ^{-1}(K)$ of any precompact set $K$ from the range of the map ${\mathcal A}_s$ is bounded in the Bochner space $L^{\mathfrak s} ([0,T], L^{{\mathfrak r}} ({\mathbb T}^3))$ with the Ladyzhenskaya–Prodi–Serrin numbers ${\mathfrak s}$, ${\mathfrak r}$.