Все выпуски

Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцью-Нагумо. Предполагается, что пространственная переменная изменяется на отрезке, на концах которого заданы однородные краевые условия Неймана. Известно, что в данном случае в системе Рэлея с диффузией существует пространственно-однородный автоколебательный режим, совпадающий с предельным циклом классической системы Рэлея. В настоящей работе показано существование счетного множества критических значений управляющего параметра, при которых возникают пространственно-неоднородные автоколебательные и стационарные режимы. Данные режимы устойчивы относительно возмущений, принадлежащих некоторым бесконечномерным инвариантным подпространствам системы, но неустойчивы во всем фазовом пространстве. Это свойство объясняет, почему в результате численных экспериментов при некоторых значениях параметра различным начальным условиям соответствуют нулевое, периодическое по времени или стационарное решение. Асимптотика вторичных решений построена методом Ляпунова-Шмидта. Явно найдены первые члены разложения, проанализированы формулы для общего члена асимптотики. Показано, что на инвариантных подпространствах происходит мягкая потеря устойчивости нулевого равновесия. Эволюция вторичных режимов при увеличении значений надкритичности исследована численно. Установлено, что с ростом значений надкритичности вторичные автоколебательные режимы постепенно сменяются стационарными. Амплитуда стационарных решений растет по мере увеличения надкритичности, а профиль асимптотически стремится к профилю меандра.

We consider a reaction-diffusion system with a cubic nonlinear term, which is a special case of the Fitzhugh-Nagumo system and an infinite-dimensional version of the classical Rayleigh system. We assume that the spatial variable belongs to an interval, supplemented with Neumann boundary conditions. It is well-known that in that specific case there exists a spatially-homogeneous oscillatory regime, which coincides with the time-periodic solution of the classical Rayleigh system. We show that there exists a countable set of critical values of the control parameter, where each critical value corresponds to the branching of new spatially-inhomogeneous auto-oscillatory or stationary regimes. These regimes are stable with respect to small perturbations from some infinite-dimensional invariant subspaces of the system under study. This, in particular, explains the convergence of numerical solution to zero, periodic or stationary solution, which is observed for some specific initial conditions and control parameter values. We construct the asymptotics for branching solutions by using Lyapunov-Schmidt reduction. We find explicitly the first terms of asymptotic expansions and study the formulas for general terms of asymptotics. It is shown that a soft loss of stability occurs in invariant subspaces. We study numerically the evolution of secondary regimes due to the increase of control parameter values and observe that the secondary periodic solutions are transformed into stationary ones as the control parameter value increases. Next, the amplitude of stationary solutions continues to grow and the solution asymptotically converges to the square wave regime.

Изучается задача о малых движениях идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, частично покрытой упругим льдом. Упругий лед моделируется упругой пластиной. Задача исследуется на основе подхода, связанного с применением так называемой теории операторных матриц. С этой целью вводятся гильбертовы пространства и некоторые их подпространства, а также вспомогательные краевые задачи. Начальная краевая задача сведена к задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве. После подробного изучения свойств операторных коэффициентов, отвечающих возникшей системе уравнений, доказывается теорема о сильной разрешимости полученной задачи Коши на конечном интервале времени. На этой основе доказана также теорема о существовании решения и исходной начально-краевой задачи.

We study the problem of small motions of an ideal stratified fluid with a free surface, partially covered with elastic ice. Elastic ice is modeled by an elastic plate. The problem is studied on the basis of an approach connected with application of the so-called operator matrices theory. To this end we introduce Hilbert spaces and some of their subspaces as well as auxiliary boundary value problems. The initial boundary value problem is reduced to the Cauchy problem for the differential second-order equation in Hilbert space. After a detailed study of the properties of the operator coefficients corresponding to the resulting system of equations, we prove a theorem on the strong solvability of the Cauchy problem obtained on a finite time interval. On this basis, we find sufficient conditions for the existence of a strong (with respect to the time variable) solution of the initial-boundary value problem describing the evolution of the hydrosystem.

В работе рассматривается задача о малых движениях вязкой стратифицированной жидкости, частично заполняющей контейнер, который равномерно вращается вокруг оси, сонаправленной с действием силы тяжести. Задача исследуется на основе подхода, связанного с применением так называемой теории операторных матриц. С этой целью вводятся гильбертовы пространства и некоторые их подпространства, а также вспомогательные краевые задачи. Исходная начально-краевая задача сводится к задаче Коши для дифференциального уравнения первого порядка в некотором гильбертовом пространстве. После детального изучения свойств операторных коэффициентов доказана теорема о разрешимости полученной задачи Коши. На этой основе найдены достаточные условия существования решения начально-краевой задачи, описывающей эволюцию исходной гидросистемы.

We study the problem of small motions of a viscous stratified fluid partially filling a container that uniformly rotates around an axis co-directed by gravity. The problem is studied on the basis of an approach related to the application of the so-called operator matrix theory. To this end, we introduce Hilbert spaces and some their subspaces, as well as auxiliary boundary value problems. The original initial-boundary value problem is reduced to the Cauchy problem for a first-order differential equation in some Hilbert space. After a detailed study of the properties of the operator coefficients corresponding to the resulting system of equations, we prove a theorem on the solvability of the Cauchy problem. On this basis, we find sufficient conditions for the existence of a solution of the original initial-boundary value problem describing the evolution of the hydro-system.

Рассматривается линейное однородное автономное дескрипторное уравнение с дискретным временем $$B_0g(k+1)+\sum_{i=1}^mB_ig(k+1-i)=0,\quad k=m,m+1,\ldots,$$ c прямоугольными (в общем случае) матрицами $B_i.$ Такое уравнение возникает при исследовании задач управления системами со многими соизмеримыми запаздываниями в управлении: задачи 0-управляемости, задачи синтеза регулятора типа обратной связи, обеспечивающего успокоение решения исходной системы, задачи модальной управляемости (управляемости коэффициентов характеристического квазиполинома), задачи спектральной приводимости и задачи синтеза наблюдателей для двойственной системы наблюдения. Для изучаемого дескрипторного уравнения с дискретным временем на основе решения конечной цепочки однородных алгебраических систем построено описание подпространства начальных условий, для которых это уравнение разрешимо. Получено представление всех его решений в виде, позволяющем организовать вычислительный процесс для нахождения одного из решений этого уравнения. Изучены свойства этого уравнения, используемые в задачах синтеза регуляторов для непрерывных систем со многими соизмеримыми запаздываниями в управлении. Отличительной чертой представленного исследования изучаемого объекта является использование подхода, не требующего построения преобразований, приводящих матрицы исходного уравнения к различным каноническим формам.

We consider a linear homogeneous autonomous descriptor equation with discrete time $$B_0g(k+1)+\sum_{i=1}^mB_ig(k+1-i)=0,\quad k=m,m+1,\ldots,$$ with rectangular (in general case) matrices $B_i$. Such an equation arises in the study of the most important control problems for systems with many commensurate delays in control: the 0-controllability problem, the synthesis problem of the feedback-type regulator, which provides calming to the solution of the original system, the modal controllability problem (controllability of the coefficients of characteristic quasipolynomial), the spectral reduction problem and the problem of observers' synthesis for a dual surveillance system. For the studied descriptor equation with discrete time, a subspace of initial conditions for which this equation is solvable is described based on the solution of a finite chain of homogeneous algebraic systems. The representation of all its solutions is obtained in the form of some explicit recurrent formula convenient for the organization of the computational process. Some properties of this equation that are used in the problems of regulator synthesis for continuous systems with many commensurate delays in control are studied. A distinctive feature of the presented study of the object under consideration is the use of an approach that does not require the construction of transformations reducing the matrices of the original equation to different canonical forms.