Все выпуски

Пусть M - гладкое многообразие с римановой метрикой g. Вопрос о группе изометрий риманова многообразия (M,g) является основной классической задачей римановой геометрии. Обозначим через G группу всех изометрий риманова многообразия (M,g) размерности n с римановой метрикой g. Структура группы G зависит от фиксированной римановой метрики g. Известно, что для «плохих» римановых метрик группа G может быть очень бедной. Известны примеры, когда группа G состоит из одного элемента. В общем случае известно, что группа G с компактно-открытой топологий является группой Ли. 

В данной статье обсуждается вопрос о существовании изометрических отображений слоеного многообразия (M,F). Обозначим через G_F группу всех изометрий слоеного риманова многообразия (M,F). Структура группы G_F зависит не только от римановой метрики g, но и от данной слоеной структуры. Изучение структуры группы G_F слоеного многообразия (M,F) является новой и интересной задачей. Впервые эта задача рассмотрена в работе А.Я. Нарманова и автора, где было показано, что группа G_F с компактно-открытой топологией является топологической группой. В работе доказывается, что группа изометрий слоеного евклидова пространства является подгруппой группы изометрий евклидова пространства (то есть G_F⊂G), если слоение порождено поверхностями уровня гладкой функции, которая не является метрической.

The question of the group of isometries of a Riemannian manifold is the main problem of the classical Riemannian geometry. Let G denote the group of isometries of a Riemannian manifold M of dimension n with a Riemannian metric g. It is known that the group G with the compact-open topology is a Lie group. This paper discusses the question of the existence of isometric maps of the foliated manifold (M,F). We denote the group of all isometries of the foliated Riemannian manifold (M,F) by G_F. Studying the structure of the group G_F of the foliated manifold (M,F) is a new and interesting problem. First, this problem is considered in the paper of A.Y. Narmanov and the author, where it was shown that the group G_F with a compact-open topology is a topological group. We consider the question of the structure of the group G_F, where M=Rⁿ and F is foliation generated by the connected components of the level surfaces of the smooth function f:Rⁿ→R. It is proved that the group of isometries of foliated Euclidean space is a subgroup of the isometry group of Euclidean space, if the foliation is generated by the level surfaces of a smooth function, which is not a metric.