Все выпуски

Изучаются возможности аппроксимации произвольной кусочно-непрерывной функции на конечном отрезке линейной комбинацией $\mu$ функций Гаусса с целью дальнейшего их использования для аппроксимации управлений в сосредоточенных задачах оптимального управления. Напомним, что функция Гаусса (квадратичная экспонента) - это функция вида $\varphi(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\dfrac{(x-m)^2}{2\sigma^2} \right]$. В отличие от исследований, проводившихся ранее другими авторами, рассматривается случай, когда параметры функций Гаусса (так же как и коэффициенты линейной комбинации) являются варьируемыми и подбираются, в частности, путем минимизации отклонения аппроксимации от аппроксимируемой функции либо (в том случае, когда речь идет об аппроксимации задачи оптимального управления) путем минимизации целевого функционала. Этот подход позволяет аппроксимировать задачи оптимального управления сосредоточенными системами конечномерными задачами математического программирования сравнительно небольшой размерности (в отличие от кусочно-постоянной или кусочно-линейной аппроксимации на фиксированной сетке с малым шагом, как это обычно делается). Приводятся результаты численных экспериментов, подтверждающие эффективность изучаемого подхода.

We study the opportunities of approximation of a piecewise continuous function on a finite segment by a linear combination of $\mu$ Gaussian functions, with the object of their usage for control approximation in lumped problems of optimal control. Recall that a Gaussian function (quadratic exponent) is one defined as follows $\varphi(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\dfrac{(x-m)^2}{2\sigma^2} \right]$. Unlike investigations carried out by another authors, we consider the case where the parameters of a Gaussian function (with the coefficients of a linear combination) are varied and selected, in particular, by minimization of the difference between a function being approximated and its approximation, or (in the case of an optimal control problem) by minimization of the cost functional. Such an approach gives the opportunity to approximate optimal control problems with lumped parameters by finite dimensional problems of mathematical programming of comparatively small dimension (as opposed to piecewise constant or piecewise linear approximation on a fixed mesh with small width which is usually used). We present also some results of numerical experiments which substantiate efficiency of the approach under study.