Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Применение крайних под- и надаргументов, выпуклых и вогнутых оболочек для поиска глобальных экстремумов

 pdf (376K)

Для вещественнозначных функций f, заданных на подмножествах вещественных линейных пространств, введены понятия крайних подаргументов и крайних надаргументов, а также понятия естественных выпуклой ˇf и вогнутой ˆf оболочек. Показано, что для любой строго выпуклой функции g любая точка глобального максимума функции f+g является крайним подаргументом для функции f. Аналогичный результат получен для функций вида f/v+g. На основе этих результатов предложен метод, облегчающий поиск глобальных экстремумов функций в некоторых случаях. Доказано, что при определенных условиях функции f/v+g и ˆf/v+g имеют одинаковые глобальные максимумы и одинаковые точки глобального максимума. Приведены необходимые и достаточные условия естественности выпуклой оболочки функции. Указано достаточное условие того, что при сужении области определения f, значения вогнутой оболочки ˆf на суженной области не меняются. Найдены крайние под- и надаргументы для непрерывной нигде не дифференцируемой функции Кобаяши-Грея-Такаги K(x) на отрезке [0;1]. Кроме того, на отрезке [0;1] вычислены глобальные экстремумы функции K(x)/cosx и глобальный максимум функции K(x)x(1x). Работа снабжена примерами и проиллюстрирована графиками.

Ключевые слова: недифференцируемая оптимизация, крайние подаргументы (подабсциссы) и крайние надаргументы (надабсциссы) функции, естественные вогнутая и выпуклая оболочки функции, функция Кобаяши-Грея-Такаги
Цитата: Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2019, т. 29, вып. 4, с. 483-500
DOI: 10.20537/vm190402

Application of extreme sub- and epiarguments, convex and concave envelopes to search for global extrema

For real-valued functions f, defined on subsets of real linear spaces, the notions of extreme subarguments, extreme epiarguments, natural convex ˇf and natural concave ˆf envelopes are introduced. It is shown that for any strictly convex function g, any point of the global maximum of the function f+g is an extreme subargument for the function f. A similar result is obtained for functions of the form f/v+g. Based on these results, a method is proposed, that facilitates the search for global extrema of functions in some cases. It is proved that under certain conditions the functions f/v+g and ˆf/v+g have the same global maximum and the same points of the global maximum. Necessary and sufficient conditions for the naturalness of the convex envelope of function are given. A sufficient condition for the invariance of values of the concave envelope ˆf during narrowing the domain of f is established. Extreme sub- and epiarguments for continuous nowhere differentiable Gray-Takagi function K(x) of Kobayashi on the segment [0;1] are found. Moreover, the global extrema of the function K(x)/cosx and the global maximum of the function K(x)x(1x) on [0;1] are calculated. The article is provided with examples and graphic illustrations.

Keywords: nondifferentiable optimization, extreme subarguments (subabscissae) and epiarguments (epiabscissae) of function, natural convex and concave envelopes of function, Gray Takagi function of Kobayashi
Citation in English: Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki, 2019, vol. 29, issue 4, pp. 483-500

Журнал индексируется в Web of Science (Emerging Sources Citation Index)

Журнал индексируется в Scopus

Журнал входит в базы данных zbMATH, MathSciNet

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Журнал включен в перечень ВАК.

Электронная версия журнала на Общероссийском математическом портале Math-Net.Ru.

Журнал включен в Crossref