Все выпуски

Для вещественнозначных функций $f$, заданных на подмножествах вещественных линейных пространств, введены понятия крайних подаргументов и крайних надаргументов, а также понятия естественных выпуклой $\check{f}$ и вогнутой $\hat{f}$ оболочек. Показано, что для любой строго выпуклой функции $g$ любая точка глобального максимума функции $f+g$ является крайним подаргументом для функции $f$. Аналогичный результат получен для функций вида $f/v + g$. На основе этих результатов предложен метод, облегчающий поиск глобальных экстремумов функций в некоторых случаях. Доказано, что при определенных условиях функции $f/v+g$ и $\hat{f}/v+g$ имеют одинаковые глобальные максимумы и одинаковые точки глобального максимума. Приведены необходимые и достаточные условия естественности выпуклой оболочки функции. Указано достаточное условие того, что при сужении области определения $f$, значения вогнутой оболочки $\hat{f}$ на суженной области не меняются. Найдены крайние под- и надаргументы для непрерывной нигде не дифференцируемой функции Кобаяши-Грея-Такаги $K(x)$ на отрезке $[0;1]$. Кроме того, на отрезке $[0;1]$ вычислены глобальные экстремумы функции $K(x)/\cos{x}$ и глобальный максимум функции $K(x)-\sqrt{x(1-x)}$. Работа снабжена примерами и проиллюстрирована графиками.

For real-valued functions $f$, defined on subsets of real linear spaces, the notions of extreme subarguments, extreme epiarguments, natural convex $\check{f}$ and natural concave $\hat{f}$ envelopes are introduced. It is shown that for any strictly convex function $g$, any point of the global maximum of the function $f+g$ is an extreme subargument for the function $f$. A similar result is obtained for functions of the form $f/v + g$. Based on these results, a method is proposed, that facilitates the search for global extrema of functions in some cases. It is proved that under certain conditions the functions $f/v+g$ and $\hat{f}/v+g$ have the same global maximum and the same points of the global maximum. Necessary and sufficient conditions for the naturalness of the convex envelope of function are given. A sufficient condition for the invariance of values of the concave envelope $\hat{f}$ during narrowing the domain of $f$ is established. Extreme sub- and epiarguments for continuous nowhere differentiable Gray-Takagi function $K(x)$ of Kobayashi on the segment $[0;1]$ are found. Moreover, the global extrema of the function $K(x)/\cos{x}$ and the global maximum of the function $K(x)-\sqrt{x(1-x)}$ on $[0;1]$ are calculated. The article is provided with examples and graphic illustrations.