Все выпуски

Рассматривается линейное однородное автономное дескрипторное уравнение с дискретным временем $$B_0g(k+1)+\sum_{i=1}^mB_ig(k+1-i)=0,\quad k=m,m+1,\ldots,$$ c прямоугольными (в общем случае) матрицами $B_i.$ Такое уравнение возникает при исследовании задач управления системами со многими соизмеримыми запаздываниями в управлении: задачи 0-управляемости, задачи синтеза регулятора типа обратной связи, обеспечивающего успокоение решения исходной системы, задачи модальной управляемости (управляемости коэффициентов характеристического квазиполинома), задачи спектральной приводимости и задачи синтеза наблюдателей для двойственной системы наблюдения. Для изучаемого дескрипторного уравнения с дискретным временем на основе решения конечной цепочки однородных алгебраических систем построено описание подпространства начальных условий, для которых это уравнение разрешимо. Получено представление всех его решений в виде, позволяющем организовать вычислительный процесс для нахождения одного из решений этого уравнения. Изучены свойства этого уравнения, используемые в задачах синтеза регуляторов для непрерывных систем со многими соизмеримыми запаздываниями в управлении. Отличительной чертой представленного исследования изучаемого объекта является использование подхода, не требующего построения преобразований, приводящих матрицы исходного уравнения к различным каноническим формам.

We consider a linear homogeneous autonomous descriptor equation with discrete time $$B_0g(k+1)+\sum_{i=1}^mB_ig(k+1-i)=0,\quad k=m,m+1,\ldots,$$ with rectangular (in general case) matrices $B_i$. Such an equation arises in the study of the most important control problems for systems with many commensurate delays in control: the 0-controllability problem, the synthesis problem of the feedback-type regulator, which provides calming to the solution of the original system, the modal controllability problem (controllability of the coefficients of characteristic quasipolynomial), the spectral reduction problem and the problem of observers' synthesis for a dual surveillance system. For the studied descriptor equation with discrete time, a subspace of initial conditions for which this equation is solvable is described based on the solution of a finite chain of homogeneous algebraic systems. The representation of all its solutions is obtained in the form of some explicit recurrent formula convenient for the organization of the computational process. Some properties of this equation that are used in the problems of regulator synthesis for continuous systems with many commensurate delays in control are studied. A distinctive feature of the presented study of the object under consideration is the use of an approach that does not require the construction of transformations reducing the matrices of the original equation to different canonical forms.