Все выпуски

Рассматривается нелинейная механическая система, динамика которой описывается векторным дифференциальным уравнением типа Льенара. Предполагается, что коэффициенты данного уравнения могут переключаться с одного набора постоянных значений на другой, причем общее количество этих наборов, вообще говоря, бесконечное. Таким образом, для задания коэффициентов уравнения используются кусочно-постоянные функции с бесконечным числом точек разрыва на всей временной оси. Предлагается способ построения разрывной функции Ляпунова, с помощью которой исследуются достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого положения равновесия изучаемого уравнения. Полученные результаты обобщаются на случай нестационарного уравнения Льенара с разрывными коэффициентами более общего вида. В качестве вспомогательного результата работы разрабатываются методы анализа вопроса знакоопределенности и подходы к получению оценок для алгебраических выражений, представляющих собой сумму слагаемых степенного вида с нестационарными коэффициентами. Ключевой особенностью исследования является отсутствие предположений об ограниченности указанных нестационарных коэффициентов или об их отделенности от нуля. Приводятся некоторые примеры, иллюстрирующие установленные результаты.

A nonlinear mechanical system, whose dynamics is described by a vector ordinary differential equation of the Lienard type, is considered. It is assumed that the coefficients of the equation can switch from one set of constant values to another, and the total number of these sets is, in general, infinite. Thus, piecewise constant functions with infinite number of break points on the entire time axis, are used to set the coefficients of the equation. A method for constructing a discontinuous Lyapunov function is proposed, which is applied to obtain sufficient conditions of the asymptotic stability of the zero equilibrium position of the equation studied. The results found are generalized to the case of a nonstationary Lienard equation with discontinuous coefficients of a more general form. As an auxiliary result of the work, some methods for analyzing the question of sign-definiteness and approaches to obtaining estimates for algebraic expressions, that represent the sum of power-type terms with non-stationary coefficients, are developed. The key feature of the study is the absence of assumptions about the boundedness of these non-stationary coefficients or their separateness from zero. Some examples are given to illustrate the established results.