Все выпуски

Пусть $X$ — гильбертово пространство, $U$ — банахово пространство, $G\colon X\to X$ — линейный оператор такой, что оператор $B_\lambda=\lambda I-G$ является максимальным монотонным при некотором (произвольно заданном) $\lambda\in\mathbb{R}$. Для задачи Коши, связанной с управляемым полулинейным эволюционным уравнением вида \[x^\prime(t)=Gx(t)+f\bigl( t,x(t),u(t)\bigr),\quad t\in[0;T];\quad x(0)=x_0\in X,\] где $u=u(t)\colon[0;T]\to U$ — управление, $x(t)$ — неизвестная функция со значениями в $X$, доказана тотально (по множеству допустимых управлений) глобальная разрешимость при условии глобальной разрешимости задачи Коши для некоторого обыкновенного дифференциального уравнения в пространстве $\mathbb{R}$. Решение $x$ понимается в слабом смысле и ищется в пространстве $\mathbb{C}_w\bigl([0;T];X\bigr)$ слабо непрерывных функций. Фактически, обобщается аналогичный результат, доказанный автором ранее для случая ограниченного оператора $G$. Суть указанного обобщения заключается в том, что постулируемые свойства оператора $B_\lambda$ позволяют построить для него аппроксимации Иосиды линейными ограниченными операторами, распространив необходимые нам оценки с «ограниченного» на «неограниченный» случай. В качестве примеров рассматриваются начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.

Let $X$ be a Hilbert space, $U$ be a Banach space, $G\colon X\to X$ be a linear operator such that the operator $B_\lambda=\lambda I-G$ is maximal monotone with some (arbitrary given) $\lambda\in\mathbb{R}$. For the Cauchy problem associated with controlled semilinear evolutionary equation as follows \[x^\prime(t)=Gx(t)+f\bigl( t,x(t),u(t)\bigr),\quad t\in[0;T];\quad x(0)=x_0\in X,\] where $u=u(t)\colon[0;T]\to U$ is a control, $x(t)$ is unknown function with values in $X$, we prove the totally (with respect to a set of admissible controls) global solvability subject to global solvability of the Cauchy problem associated with some ordinary differential equation in the space $\mathbb{R}$. Solution $x$ is treated in weak sense and is sought in the space $\mathbb{C}_w\bigl([0;T];X\bigr)$ of weakly continuous functions. In fact, we generalize a similar result having been proved by the author formerly for the case of bounded operator $G$. The essence of this generalization consists in that postulated properties of the operator $B_\lambda$ give us the possibility to construct Yosida approximations for it by bounded linear operators and thus to extend required estimates from “bounded” to “unbounded” case. As examples, we consider initial boundary value problems associated with the heat equation and the wave equation.