Все выпуски

В настоящей работе исследуется двумерная краевая задача типа Стеклова для оператора Ламэ в полуполосе, которая является предельной для сингулярно возмущенной краевой задачи в полуполосе с малым отверстием. Доказана теорема о существовании собственных элементов исследуемой краевой задачи. В частности, получены оценки для собственных значений, выраженные через постоянные Ламэ и параметр, определяющий ширину полуполосы, а также уточнена структура соответствующих собственных вектор-функций, определяющая их поведение при удалении от основания полуполосы. Более того, найдены явные выражения собственных значений предельной краевой задачи с точностью до решения системы алгебраических уравнений. Результаты, полученные в данной работе, позволят построить и строго обосновать асимптотическое разложение собственного значения сингулярно возмущенной краевой задачи в полуполосе с малым отверстием с точностью до степени малого параметра, характеризующего размер отверстия.

In this paper, we study a two-dimensional Steklov-type boundary value problem for the Lamé operator in a half-strip, which is the limiting problem for a singularly perturbed boundary-value problem in a half-strip with a small hole. A theorem on the existence of eigenelements of the boundary value problem under study is proved. In particular, we obtain estimates for the eigenvalues expressed in terms of the Lamé constants and a parameter that determines the width of the half-strip, and refine the structure of the corresponding eigenfunctions, which determines their behavior as their argument move away from the base of the half-strip. Moreover, explicit expressions for the eigenvalues of the limiting boundary value problem are found up to the solution of a system of algebraic equations. The results obtained in this paper will make it possible to construct and rigorously justify an asymptotic expansion of the eigenvalue of a singularly perturbed boundary value problem in a half-strip with a small round hole in powers of a small parameter that determines the diameter of the hole.