Все выпуски

Пусть $T_{\rho}$ — иррациональный поворот на единичной окружности $S^{1}\simeq [0,1)$. Рассмотрим последовательность $\{\mathcal{P}_{n}\}$ возрастающих разбиений на $S^{1}$. Определим время попадания $N_{n}(\mathcal{P}_n;x,y):= \inf \{ j\geq 1\mid T^{j}_{\rho}(y) \in P_{n}(x)\}$, где $P_{n}(x)$ — элемент разбиения $\mathcal{P}_{n}$, содержащий точку $x$. Д. Ким и Б. Сео [9] доказали, что время попадания $K_n(\mathcal{Q}_n;x,y):= \frac{\log N_n(\mathcal{Q}_n;x,y)}{n}$ почти всюду (по мере Лебега) сходится к $\log2$, где последовательность разбиений $\{\mathcal{Q}_n\}$ порождена хаотическим отображением $f_{2}(x):=2x \bmod 1$. Хорошо известно, что отображение $f_{2}$ имеет положительную энтропию $\log2$. Возникает естественный вопрос о том, что если последовательность разбиений $\{\mathcal{P}_n\}$ порождена отображением с нулевой энтропией. В настоящей работе мы изучаем поведение $K_n(\tau_n;x,y)$ с последовательностью смешанных разбиений ${\tau_{n}}$ таких, что $\mathcal{Q}_{n}\cap [0,\frac{1}{2}]$ порождена отображением $f_{2}$, а $ \mathcal{D}_{n}\cap [\frac{1}{2},1]$ порождена иррациональным поворотом $T_{\rho}$. Доказано, что $K_n(\tau_n;x,y)$ почти всюду (по мере Лебега) сходится к кусочно-постоянной функции с двумя значениями. Также показано, что существуют некоторые иррациональные повороты, демонстрирующие различное поведение.

Let $T_{\rho}$ be an irrational rotation on a unit circle $S^{1}\simeq [0,1)$. Consider the sequence $\{\mathcal{P}_{n}\}$ of increasing partitions on $S^{1}$. Define the hitting times $N_{n}(\mathcal{P}_n;x,y):= \inf\{j\geq 1\mid T^{j}_{\rho}(y)\in P_{n}(x)\}$, where $P_{n}(x)$ is an element of $\mathcal{P}_{n}$ containing $x$. D. Kim and B. Seo in [9] proved that the rescaled hitting times $K_n(\mathcal{Q}_n;x,y):= \frac{\log N_n(\mathcal{Q}_n;x,y)}{n}$ a.e. (with respect to the Lebesgue measure) converge to $\log2$, where the sequence of partitions $\{\mathcal{Q}_n\}$ is associated with chaotic map $f_{2}(x):=2x \bmod 1$. The map $f_{2}(x)$ has positive entropy $\log2$. A natural question is what if the sequence of partitions $\{\mathcal{P}_n\}$ is associated with a map with zero entropy. In present work we study the behavior of $K_n(\tau_n;x,y)$ with the sequence of mixed partitions $\{\tau_{n}\}$ such that $ \mathcal{P}_{n}\cap [0,\frac{1}{2}]$ is associated with map $f_{2}$ and $\mathcal{D}_{n}\cap [\frac{1}{2},1]$ is associated with irrational rotation $T_{\rho}$. It is proved that $K_n(\tau_n;x,y)$ a.e. converges to a piecewise constant function with two values. Also, it is shown that there are some irrational rotations that exhibit different behavior.