Все выпуски

Изучаются недавно введенные понятия меры устойчивости и меры неустойчивости разного типа: ляпуновского, перроновского или верхнепредельного. Эти понятия допускают естественную вероятностную интерпретацию, которая показывает зависимость конкретных свойств решений дифференциальной системы, начинающихся близко к ее нулевому решению, от сколь угодно малых возмущений начальных значений задачи Коши с фиксированным начальным моментом. В работе исследуется как раз зависимость самих этих мер от начального момента. Доказано, что эта зависимость полностью отсутствует для одномерных и автономных систем, а также для многих типов устойчивости или неустойчивости линейных систем. Кроме того, доказано, что крайние значения самих мер устойчивости или неустойчивости всегда инвариантны относительно выбора начального момента. Наконец, приведен пример системы, для которой эта зависимость, напротив, проявляется в максимально возможной степени.

The recently introduced concepts of stability measures and instability measures of different types are studied: Lyapunov, Perron or upper-limit. These concepts allow a natural probabilistic interpretation, which shows the dependence of specific properties of solutions of a differential system, starting close to its zero solution, on arbitrarily small perturbations of the initial values of the Cauchy problem with a fixed initial moment. The work examines precisely the dependence of these measures on the initial moment. It has been proved that this dependence is completely absent for one-dimensional and autonomous systems, as well as for many types of stability or instability of linear systems. Moreover, it has been proved that the extreme values of the measures of stability or instability themselves are always invariant with respect to the choice of the initial moment. Finally, an example of a system is given for which this dependence, on the contrary, manifests itself to the maximum possible extent.