Все выпуски

Рассматривается математическая модель о равновесии упругой пластины с двумя взаимно пересекающимися трещинами. Одна из трещин описывается частью плоскости, перпендикулярной срединной плоскости пластины, а другая — задается гладкой кривой в срединной плоскости. Нелинейность задачи обусловлена условиями непроникания в виде неравенств, заданных на кривых, соответствующих трещинам. Проводится анализ зависимости решений семейства вариационных неравенств от параметра, характеризующего вариацию длины прямолинейной трещины. На основе описанного семейства задач формулируется задача оптимального управления с функционалом качества, определенным с помощью формулы Гриффитса, которая характеризует возможность развития трещины вдоль заданной траектории. При этом управление задается числовым параметром, отвечающим за длину прямолинейной трещины. Доказано существование решения для задачи оптимального управления, установлена непрерывная зависимость решений в пространстве Соболева от изменения параметра длины трещины.

A mathematical model of the equilibrium of an elastic plate with two mutually intersecting cracks is considered. One of the cracks is described by a part of the plane perpendicular to the midplane of the plate, and the other is specified by a smooth curve in the midplane. The nonlinearity of the problem is due to the non-penetration conditions in the form of inequalities imposed on the curves corresponding to the cracks. An analysis is made of the dependence of solutions of a family of variational inequalities on a parameter characterizing the variation of the length of a rectilinear crack. Based on the described family of problems, an optimal control problem is formulated with a quality functional determined by the Griffiths formula, which characterizes the possibility of crack development along a given trajectory. In this case, the control is specified by a numerical parameter specifying the length of the rectilinear crack. The existence of a solution for the optimal control problem is proved, and a continuous dependence of solutions in the Sobolev space on a change in the crack length parameter is established.