Все выпуски

В работе изучается асимптотическое поведение решений задачи Дирихле для неоднородного уравнения Шрёдингера с граничными данными на бесконечности на модельных римановых многообразиях. Под модельными понимают полные некомпактные римановы многообразия, представимые в виде $M_{g}=B\cup D$, где $B$ — некоторый связный предкомпакт с непустой внутренностью ($\partial B$ — гладкая граница), а $D$ — многообразие со сферически-симметричной метрикой (модельный конец). В первой части работы изучаются свойства решений внешней краевой задачи Дирихле на модельном конце $D$. В частности, найдены достаточно точные оценки скорости асимптотического приближения рассматриваемого решения к граничным данным на бесконечности в равномерной норме. Во второй части показана возможность продолжения решения внешней краевой задачи для неоднородного уравнения Шрёдингера с модельного конца $D$ на все модельное многообразие с сохранением асимптотического неравенства. Оценка скорости асимптотического сближения получена в терминах метрики многообразия и коэффициентов неоднородного уравнения Шрёдингера.

The paper studies the asymptotic behavior of solutions to the Dirichlet problem for the inhomogeneous Schrödinger equation with boundary data at infinity on model Riemannian manifolds. Model manifolds are complete non-compact Riemannian manifolds that can be represented as $M_{g}=B\cup D$, where $B$ is some connected precompact set with nonempty interior ($\partial B$ is a smooth boundary), and $D$ is a manifold with a spherically symmetric metric (the model end). In the first part of the paper, we study the properties of solutions to the external Dirichlet boundary value problem at the model end $D$. In particular, fairly accurate estimates for the rate of asymptotic approximation of the solution to the boundary data at infinity in the uniform norm are found. The second part shows the possibility of continuing the solution of the external boundary value problem for the inhomogeneous Schrödinger equation from the model endpoint $D$ to the entire model manifold while preserving the asymptotic inequality. Quantitative characteristics that estimate the speed of the approximation are found in terms of the metric of the manifold and the coefficients of the inhomogeneous Schrödinger equation.