Все выпуски

Нормальная производная потенциала двойного слоя (НП ПДС) задается на границе области сильно сингулярными интегралами. Поэтому ни на самой границе, ни в непосредственной близости от нее НП ПДС не может быть вычислена с удовлетворительной точностью с использованием обычных квадратурных формул, которые дают надежные результаты только на достаточном расстоянии от границы. В настоящей работе в рамках метода граничных элементов получены полуаналитические аппроксимации НП ПДС для двумерного уравнения Гельмгольца, равномерно сходящиеся с почти кубической скоростью в замкнутой приграничной области, включающей саму границу. Такие аппроксимации осуществимы для любой аналитически заданной границы класса $C^7$. Для этого используются точное интегрирование по гладкой компоненте функции расстояния вблизи точек наблюдения, аддитивно-мультипликативный способ выделения особенности, кусочно-квадратичная интерполяция медленно изменяющихся функций и симметризация промежутков интерполяции относительно проекций точек наблюдения на границу области. Теоретические выводы подтверждены результатами вычисления НП ПДС для уравнения Гельмгольца при различных значениях комплексного волнового числа внутри, вне и на границе единичного круга.

The normal derivative of the double-layer potential is expressed on the domain boundary in terms of strongly singular integrals. Therefore, neither at the boundary itself nor in its immediate vicinity can this derivative be calculated with satisfactory accuracy using conventional quadrature formulas, which yield reliable results only at a sufficient distance from the boundary. In this paper, within the boundary element method (BEM) framework, semi-analytical approximations for the normal derivative of the double-layer potential associated with the two-dimensional Helmholtz equation are derived. These approximations converge uniformly with a nearly cubic rate in a closed near-boundary region that encompasses the boundary itself. Such approximations are feasible for any analytically defined boundary of class $C^7$. The proposed approach combines exact integration over the smooth component of the distance function near the observation points, an additive-multiplicative method for extracting singularities, piecewise-quadratic interpolation of slowly varying functions, and symmetrization of interpolation intervals with respect to the projections of the observation points onto the domain boundary. The theoretical findings are validated by numerical computations of the normal derivative for the Helmholtz equation at various complex wavenumbers, performed inside, outside, and on the boundary of a unit disk.