Все выпуски

Солитон Римана является жестким обобщением классического солитона Риччи, в определяющем уравнении которого участвует полный тензор кривизны Римана. В работе устанавливается связь между компактными солитонами Римана и операторным подходом, основанным на лапласиане Альфорса. С помощью свертки уравнения солитона Римана при размерности $m\geqslant3$ строится ассоциированный почти солитон Риччи с нормированным потенциальным векторным полем. Получена глобальная формула, выражающая константу солитона через среднюю скалярную кривизну компактного многообразия. С помощью оператора Коши–Альфорса и формально сопряженного к нему оператора получены условия жесткости, при которых бесследовая часть тензора Риччи обращается в нуль и метрика является эйнштейновой. На основе теоремы Обаты сформулирован сферический результат жесткости. Отдельно рассмотрен двумерный случай: при положительной постоянной скалярной кривизне ориентируемый компактный солитон Римана является круглой сферой с соответствующей постоянной гауссовой кривизной, а ассоциированный почти солитон Риччи, возникающий при свертке, тривиален.

A Riemann soliton is a rigid generalization of the classical Ricci soliton in which the full Riemann curvature tensor enters the defining equation. We establish a connection between compact Riemann solitons and the operator framework of the Ahlfors Laplacian. Contracting the Riemann soliton equation in dimension $m\geqslant3$ produces an associated Ricci almost soliton with a normalized potential vector field. We derive a global formula expressing the soliton constant in terms of the average scalar curvature of the compact manifold. Using the Cauchy–Ahlfors operator and its formal adjoint, we obtain rigidity conditions under which the traceless Ricci tensor vanishes and the metric is Einstein. An application of Obata's theorem gives a spherical rigidity result. The two-dimensional case is treated separately: positive constant scalar curvature on an orientable compact Riemann soliton yields a round two-sphere with the corresponding constant Gaussian curvature, while the Ricci almost soliton associated by contraction is trivial.