Все выпуски

В работе рассмотрена интегрируемая гамильтонова система на алгебре Ли $so(4)$ с дополнительным интегралом четвертой степени - интегрируемый случай Адлера-ван Мёрбеке. Рассмотрены классические работы, посвященные, с одной стороны, динамике твердого тела, содержащего полости, полностью заполненные идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, а с другой стороны, изучению геодезических потоков левоинвариантных метрик на группах Ли. Приведены уравнения движения, функция Гамильтона, скобки Ли-Пуассона, функции Казимира и фазовое пространство рассматриваемого случая. В предыдущих работах начато исследование фазовой топологии интегрируемого случая Адлера-ван Мёрбеке: приводятся в явном виде спектральная кривая, дискриминантное множество, бифуркационная диаграмма отображения момента, предъявлены характеристические показатели для определения типа критических точек ранга 0 и 1 отображения момента. В данной работе излагается алгоритм построения торов Лиувилля. Рассмотрены примеры перестроек лиувиллиевых торов при пересечении бифуркационных кривых для перестроек одного тора в два и двух торов в два.

В данной работе рассматриваются системы материальных точек в евклидовом пространстве, взаимодействующих как друг с другом, так и с внешним полем. В частности, рассматриваются системы частиц, взаимодействие между которыми описывается однородным потенциалом степени однородности α=-2. Для этих систем существует дополнительная скрытая симметрия, которой соответствует первый интеграл движения, называемый нами интегралом Якоби. Данный интеграл указывался ранее в различных работах, начиная с Якоби, однако мы приводим его в более общем виде.

В данной работе рассматриваются системы материальных точек в евклидовом пространстве, взаимодействующих как друг с другом, так и с внешним полем. Для случая произвольного парного взаимодействия между телами, зависящего только от их взаимного расстояния, указаны новые интегралы, образующие вектор галилеева момента. Приведена соответствующая алгебра интегралов, которую образуют интегралы импульса, момента импульса игалилеева момента.

Рассмотрены  системы частиц, взаимодействие между которыми описывается однородным потенциалом степени однородности α=-2. Для этих систем приведена наиболее общая форма дополнительного первого интеграла движения, называемого нами интегралом Якоби. Указана новая нелинейная алгебра интегралов, включающая интеграл Якоби. Систематически описана новая процедура редукции и возможность ее применения в динамике для понижения
порядка гамильтоновых систем.

В статье также приводится ряд новых интегрируемых и суперинтегрируемых систем, являющихся обобщением классических. Приведен ряд обобщений тождества Лагранжа для систем с однородным потенциалом степени однородности α=-2, а также с помощью компьютерных экспериментов доказана неинтегрируемость задачи Якоби на плоскости.