Все выпуски

Исследуется воздействие аддитивных и параметрических шумов на аттракторы одномерной системы, задаваемой стохастическим дифференциальным уравнением Ито. Показано, что в отличие от аддитивных, параметрические возмущения приводят к сдвигу экстремумов функции плотности распределения. Для величины такого сдвига получено разложение по малому параметру интенсивности шума. Показано, что воздействие параметрического шума может изменить не только расположение, но и количество экстремумов плотности распределения. Подробный анализ соответствующих индуцированных шумами явлений проведен для трех динамических моделей. Сравнение погрешности приближений разного порядка для оценки сдвига экстремумов функции плотности представлено на примере линейной модели. Два сценария перехода между унимодальной и бимодальной формами стохастического аттрактора исследованы для систем с разными типами кубической нелинейности.

В статье исследуется дискретная модель нейрона, предложенная Рульковым. В детерминированном варианте эта система моделирует различные режимы нейронной активности, такие как покой, тонический и хаотический спайкинг. В присутствии случайных возмущений в системе может наблюдаться еще один важный режим - берстинг, характеризующийся перемежаемостью участков покоя и возбуждения. В работе исследуются вероятностные механизмы индуцированных шумом переходов от покоя к берстингу в зоне касательной бифуркации. Показано, что такие переходы могут сопровождаться трансформацией динамики системы из регулярной в хаотическую. Для анализа этих бифуркационных явлений используются техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных интервалов.

В работе изучается влияние шума на модель ферментативной реакции Голдбетера, описывающую механизм колебательного синтеза циклического аденозинмонофосфата в клетке. Показано, что модель отличается высокой чувствительностью к вариациям параметров и начальных условий. Демонстрируется и исследуется явление стохастической возбудимости в зоне устойчивого равновесия. Показано, что воздействие шума приводит к резкому переходу от малоамплитудных стохастических осцилляций к спайковым колебаниям большой амплитуды. Для параметрического анализа этого явления используются техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных эллипсов. Изучена зависимость критического значения интенсивности шума, при котором начинается генерация большеамплитудных колебаний, от близости управляющего параметра к точке бифуркации. Для детального анализа частотных свойств стохастических колебаний проведен статистический анализ межспайковых интервалов и обнаружено явление когерентного резонанса.

В работе изучается влияние цветного шума на равновесные режимы нелинейных динамических систем. Для исследования реакции системы на малые возмущения используется асимптотический подход, развивающий технику функций стохастической чувствительности. Стохастическая чувствительность равновесия в общей многомерной динамической системе задается некоторой матрицей. Для этой матрицы стохастической чувствительности в работе получено матричное алгебраическое уравнений. Точное решение этого уравнения дается для важного класса нелинейных осцилляторов с возмущениями в форме цветных шумов. Эта теория применяется к параметрическому исследованию отклика электронного генератора с жестким возбуждением на цветные шумы с различным временем корреляции. В работе исследована зависимость дисперсии случайных состояний от характерного времени корреляции. Показано, что эта зависимость может быть немонотонной и иметь максимумы, соответствующие резонансам. В работе обсуждается вероятностный механизм стохастической генерации колебаний больших амплитуд, вызванной цветным шумом.

Пусть зафиксирован некоторый класс возмущений матрицы коэффициентов $A(\cdot)$ дискретной линейной однородной системы вида $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad x\in\mathbb R^n,$$ с вполне ограниченной на $\mathbb Z$ матрицей $A(\cdot)$. Спектральным множеством этой системы, отвечающим заданному классу возмущений, называем совокупность полных спектров показателей Ляпунова возмущенных систем, когда возмущения пробегают весь заданный класс. Основное внимание в работе уделено классу ${\cal R}$ возмущенных систем вида $$y(m+1)=A(m)R(m)x(m),\quad m\in\mathbb Z,\quad y\in\mathbb R^n,$$ с вполне ограниченными на $\mathbb Z$ матрицами $R(\cdot)$, и его подклассам ${\cal R}_{\delta}$ с матрицами $R(\cdot)$, удовлетворяющими оценке $\sup_{m\in\mathbb Z}\|R(m)-E\|<\delta$, где $\delta>0$. Доказано, что если показатели Ляпунова исходной системы устойчивы, то спектральное множество $\lambda({\cal R})$, отвечающее классу ${\cal R}$, совпадает с множеством всех упорядоченных по возрастанию наборов из $n$ чисел, при этом для каждого $\Delta>0$ существует такое $\ell=\ell(\Delta)>0$, что для любого $\delta<\Delta$ спектральное множество $\lambda({\cal R}_{\ell\delta})$ содержит в себе $\delta$-окрестность полного спектра показателей Ляпунова невозмущенной системы.

Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцью-Нагумо. Предполагается, что пространственная переменная изменяется на отрезке, на концах которого заданы однородные краевые условия Неймана. Известно, что в данном случае в системе Рэлея с диффузией существует пространственно-однородный автоколебательный режим, совпадающий с предельным циклом классической системы Рэлея. В настоящей работе показано существование счетного множества критических значений управляющего параметра, при которых возникают пространственно-неоднородные автоколебательные и стационарные режимы. Данные режимы устойчивы относительно возмущений, принадлежащих некоторым бесконечномерным инвариантным подпространствам системы, но неустойчивы во всем фазовом пространстве. Это свойство объясняет, почему в результате численных экспериментов при некоторых значениях параметра различным начальным условиям соответствуют нулевое, периодическое по времени или стационарное решение. Асимптотика вторичных решений построена методом Ляпунова-Шмидта. Явно найдены первые члены разложения, проанализированы формулы для общего члена асимптотики. Показано, что на инвариантных подпространствах происходит мягкая потеря устойчивости нулевого равновесия. Эволюция вторичных режимов при увеличении значений надкритичности исследована численно. Установлено, что с ростом значений надкритичности вторичные автоколебательные режимы постепенно сменяются стационарными. Амплитуда стационарных решений растет по мере увеличения надкритичности, а профиль асимптотически стремится к профилю меандра.

Построен характеристический многочлен спектральной задачи дифференциального уравнения первого порядка на отрезке со спектральным параметром в краевом условии с интегральным возмущением, которое является целой аналитической функцией от спектрального параметра. На основе формулы характеристического многочлена доказаны выводы об асимптотике спектра возмущенной спектральной задачи.

Рассматриваются многозначные отображения, действующие из частично упорядоченного пространства $(X,\leq)$ в множество $Y$, на котором задано рефлексивное бинарное отношение $\vartheta$ (это отношение не предполагается ни антисимметричным, ни транзитивным, т.е. $\vartheta$ не является порядком в $Y$). Для таких отображений введены аналоги понятий накрывания и монотонности. С использованием этих понятий исследуется включение $F(x)\ni \tilde{y}$, где $F\colon X \rightrightarrows Y$, $\tilde{y}\in Y$. Предполагается, что для некоторого заданного $x_0\in X$ существует $y_{0} \in F(x_{0})$ такой, что $(\tilde{y},y_{0}) \in \vartheta$. Получены условия существования решения $x\in X$ изучаемого включения, удовлетворяющего неравенству ${x\leq x_0}$, и условия существования минимального и наименьшего решений. Также определяется и исследуется свойство устойчивости решений рассматриваемого включения к изменениям многозначного отображения $F$ и элемента $\widetilde{y}$. А именно, рассматривается последовательность «возмущенных» включений $F_i(x)\ni \tilde{y}_i$, $i\in \mathbb{N}$, получены условия, при которых эти включения имеют решения $x_i \in X$ и для любой возрастающей последовательности $\{i_n\}$ натуральных чисел выполнено $\sup_{n \in \mathbb{N}}\{x_{i_{n}}\}= x$, где $x\in X$ — решение исходного включения.

Исследуются вопросы единственности и устойчивости решений задач управления для модели электронно-индуцированной зарядки неоднородного полярного диэлектрика. Устанавливаются достаточные условия единственности и устойчивости оптимальных решений рассматриваемых экстремальных задач, а также выводятся локальные оценки их устойчивости относительно малых возмущений функционалов качества.

Получена оценка сверху для показателей Ляпунова возмущенной абстрактной линейной системы.