Все выпуски

Рассматривается модель хаотического движения пластинки в вязкой жидкости, описываемая колебательной системой трех обыкновенных дифференциальных уравнений с квадратичной нелинейностью. В ходе бифуркационного исследования особых точек системы построены карты типов особых точек и найдено уравнение поверхности в пространстве параметров диссипации и циркуляции, на которой происходит бифуркация Андронова-Хопфа рождения предельного цикла. При дальнейшем изменении параметров вблизи поверхности Андронова-Хопфа найдены каскады бифуркаций удвоения периода цикла Фейгенбаума и субгармонические каскады Шарковского, заканчивающиеся рождением цикла периода три. Получены выражения для седловых чисел седлоузла и двух седлофокусов и построены их графики в пространстве параметров. Показано, что в системе реализуются гомоклинические каскады бифуркаций при разрушении гомоклинических траекторий седлофокусов. Существование гомоклинических траекторий седлофокусов доказано численно-аналитическим методом. Графики старшего показателя Ляпунова и бифуркационные диаграммы показывают, что при изменении коэффициентов диссипации система в несколько этапов переходит к хаосу.

Рассматриваются периодические по времени возмущения асимметричного уравнения маятникового типа, близкого к интегрируемому стандартному уравнению математического маятника. Для автономного уравнения решается проблема предельных циклов, которая сводится к исследованию порождающих функций Пуанкаре-Понтрягина. Строится разбиение плоскости параметров на области с разным поведением фазовых кривых. Даются основные фазовые портреты для каждой области полученного разбиения. Для неавтономного уравнения изучается вопрос о структуре резонансных зон, к которому приводит решение задачи о синхронизации колебаний. Вычисляются усредненные уравнения маятникового типа, описывающие поведение решений исходного уравнения в индивидуальных резонансных зонах, и проводится их анализ. Устанавливается глобальное поведение решений в ячейках, не содержащих малых окрестностей невозмущенных сепаратрис. С помощью аналитического метода Мельникова и численного моделирования изучаются основные бифуркации неавтономного уравнения, связанные с возникновением негрубых гомоклинических кривых. На плоскости основных параметров строится бифуркационная диаграмма для отображения Пуанкаре, порожденного исходным уравнением, описывающая различные типы гомоклинических касаний сепаратрис седловой неподвижной точки. Обнаруживаются гомоклинические зоны (те области параметров, для которых существуют гомоклинические траектории к седловой неподвижной точки) с негладкими бифуркационными границами.