Все выпуски

В работе изучается влияние шума на модель ферментативной реакции Голдбетера, описывающую механизм колебательного синтеза циклического аденозинмонофосфата в клетке. Показано, что модель отличается высокой чувствительностью к вариациям параметров и начальных условий. Демонстрируется и исследуется явление стохастической возбудимости в зоне устойчивого равновесия. Показано, что воздействие шума приводит к резкому переходу от малоамплитудных стохастических осцилляций к спайковым колебаниям большой амплитуды. Для параметрического анализа этого явления используются техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных эллипсов. Изучена зависимость критического значения интенсивности шума, при котором начинается генерация большеамплитудных колебаний, от близости управляющего параметра к точке бифуркации. Для детального анализа частотных свойств стохастических колебаний проведен статистический анализ межспайковых интервалов и обнаружено явление когерентного резонанса.

В работе изучается влияние цветного шума на равновесные режимы нелинейных динамических систем. Для исследования реакции системы на малые возмущения используется асимптотический подход, развивающий технику функций стохастической чувствительности. Стохастическая чувствительность равновесия в общей многомерной динамической системе задается некоторой матрицей. Для этой матрицы стохастической чувствительности в работе получено матричное алгебраическое уравнений. Точное решение этого уравнения дается для важного класса нелинейных осцилляторов с возмущениями в форме цветных шумов. Эта теория применяется к параметрическому исследованию отклика электронного генератора с жестким возбуждением на цветные шумы с различным временем корреляции. В работе исследована зависимость дисперсии случайных состояний от характерного времени корреляции. Показано, что эта зависимость может быть немонотонной и иметь максимумы, соответствующие резонансам. В работе обсуждается вероятностный механизм стохастической генерации колебаний больших амплитуд, вызванной цветным шумом.

Для класса динамических систем, включающего в себя уравнения колебаний упругой балки на упругом основании, автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, системы гидродинамического типа и др., изложена процедура приближенного вычисления амплитуд периодических решений, бифурцирующих из точек покоя при наличии резонансов.

Исследуются собственные значения и резонансы двухчастичного дискретного оператора Шредингера с малым убывающим потенциалом.

В работе рассматривается трехмерный оператор Шрёдингера для кристаллической пленки с нелокальным потенциалом, представляющим собой сумму оператора умножения на функцию и оператора ранга два («сепарабельного потенциала»), вида $V=W(x)+\lambda _1(\cdot ,\phi _1)\phi _1+\lambda _2(\cdot ,\phi _2)\phi _2$. Здесь функция $W(x)$ экспоненциально убывает по переменной $x_3$, функции $\phi _1(x)$, $\phi _2(x)$ линейно независимы, блоховские по переменным $x_1, \, x_2$ и экспоненциально убывающие по переменной $x_3$. Потенциалы данного рода возникают в теории псевдопотенциала. Под уровнем оператора Шрёдингера понимается его собственное значение или резонанс. Доказаны существование и единственность уровня данного оператора вблизи нуля, получена его асимптотика.

Изучается задача о воздействии двухчастотных квазипериодических возмущений на системы, близкие к произвольным нелинейным двумерным гамильтоновым в случае, когда соответствующие возмущенные автономные системы имеют двойной предельный цикл. Ее решение имеет важное значение как для теории синхронизации колебаний, так и для теории бифуркаций динамических систем. В случае соизмеримости собственной частоты невозмущенной системы с частотами квазипериодического возмущения имеет место резонанс. Выводятся усредненные системы, позволяющие установить структуру резонансной зоны, то есть описать поведение решений в окрестностях индивидуальных резонансных уровней. Исследование этих систем позволяет установить возможные бифуркации, возникающие при отклонении резонансного уровня от уровня невозмущенной системы, порождающего двойной предельный цикл в возмущенной автономной системе. Полученные теоретические результаты применяются при исследовании двухчастотного квазипериодически возмущенного уравнения маятникового типа и иллюстрируются при помощи численных вычислений.

В современной физической литературе неоднократно возникала потребность в формулах, позволяющих в квантовой одномерной задаче рассеяния свести вычисление вероятности отражения (прохождения) для потенциала, состоящего из нескольких «барьеров», к вероятностям отражения и прохождения через эти «барьеры». В настоящей работе исследуется задача рассеяния для разностного оператора Шрёдингера с потенциалом, являющимся суммой N функций (описывающих «барьеры» или «слои») с попарно непересекающимися носителями. С помощью уравнения Липпмана-Швингера доказана теорема, позволяющая вычисление амплитуд отражения и прохождения для данного потенциала свести к вычислению амплитуд отражения и прохождения для слагаемых. Для N=2 получены простые явные формулы, осуществляющие такое сведение. Рассмотрены частные случаи четного первого барьера и двух одинаковых четных (после соответствующих сдвигов) барьеров. Разумеется, аналогичные результаты справедливы и для вероятностей отражения и прохождения. Получено простое уравнение для нахождения резонансов двухбарьерной структуры в терминах амплитуд для каждого из двух барьеров.

В статье также приведена иная схема доказательства полученных результатов, основанная на разложении в ряд T-оператора, позволяющая обосновать физические представления о рассеянии на многослойной структуре как о многократном рассеянии на отдельно взятых слоях. При доказательстве утверждений используется известный прием сведения уравнения Липпмана-Швингера к «модифицированному» уравнению в гильбертовом пространстве, что позволяет, в свою очередь, воспользоваться теорией Фредгольма. Конечно, все полученные результаты остаются справедливыми и для «непрерывного» оператора Шрёдингера, а выбор дискретного подхода обусловлен его растущей популярностью в квантовой теории твердого тела.

Для дискретного оператора Шредингера, отвечающего квантовому волноводу, с экспоненциально убывающим потенциалом вида εV доказано, что в окрестности особенностей невозмущенной функции Грина для малых ε существуют квазиуровни (собственные значения или резонансы), для которых найдены асимптотические формулы.

В последние два десятилетия углеродные нанотрубки активно исследуются в физической литературе, что обусловлено многообещающими перспективами их применения в микроэлектронике; в то же время интересные математические свойства используемых при этом гамильтонианов, к сожалению, часто остаются без должного внимания математиков. В настоящей статье проведено математически строгое исследование спектральных свойств гамильтониана $H_{\varepsilon}=H_0+\varepsilon V$ где гамильтониан электрона в углеродной нанотрубке типа «зигзаг» $H_0$ записан в приближении сильной связи, а оператор $\varepsilon V$ (потенциал) имеет вид

$$(\varepsilon V\psi )(n)=\varepsilon { V_1\psi _1(n)\choose V_2\psi _2(n)}\delta_{n0}$$

здесь $\varepsilon >0$, $V_1,V_2$ - вещественные числа, $\delta_{n0}$ - символ Кронекера. Гамильтониан $H_{\varepsilon}$ отвечает углеродной нанотрубке с примесью, равномерно распределенной в сечении нанотрубки. Данный гамильтониан является разностным оператором, определенным на функциях из $(l^2(\Omega ))^2$, где $\Omega =\mathbb Z\times \{ 0,1,\ldots,N-1\}$, $N\geqslant 2$, удовлетворяющих периодическим граничным условиям. В статье, в частности, доказано, что для каждой подзоны спектра вблизи одной из граничных точек подзоны в случае малых потенциалов существует ровно один квазиуровень, то есть собственное значение или резонанс. Для квазиуровней получены асимптотические формулы вида

$$\lambda _l^{\pm}= \pm \Bigl|2\cos\frac{\pi l}{N}+1\Bigr|\cdot\Bigl(1+\frac{\varepsilon^2(V_1+V_2)^2}{16\cos\frac{\pi l}{N}}\Bigr)
+O(\varepsilon^3),$$

где $l$ - номер подзоны, $N$ - число атомов в сечении нанотрубки, $\pm$ - знак $\lambda$. Также найдено условие того, когда квазиуровень является собственным значением.

Исследуются спектральные свойства дискретного оператора Шредингера для бесконечной полосы с нулевыми граничными условиями. Доказано, что для малых убывающих потенциалов вблизи особенностей невозмущенной функции Грина (граничных точек подзон) возникают собственные значения и резонансы, найдена их асимптотика. Описана картина рассеяния; явление дифракции (рассеяние, главным образом, по конечному числу выделенных направлений) трансформируется в рассматриваемой квазиодномерной системе в волны во времени вероятностей прохождения и отражения. Получены простые формулы для данных вероятностей вблизи граничных точек подзон (это отвечает малым скоростям квантовой частицы) в случае малых потенциалов.