Все выпуски

В современной физической литературе неоднократно возникала потребность в формулах, позволяющих в квантовой одномерной задаче рассеяния свести вычисление вероятности отражения (прохождения) для потенциала, состоящего из нескольких «барьеров», к вероятностям отражения и прохождения через эти «барьеры». В настоящей работе исследуется задача рассеяния для разностного оператора Шрёдингера с потенциалом, являющимся суммой N функций (описывающих «барьеры» или «слои») с попарно непересекающимися носителями. С помощью уравнения Липпмана-Швингера доказана теорема, позволяющая вычисление амплитуд отражения и прохождения для данного потенциала свести к вычислению амплитуд отражения и прохождения для слагаемых. Для N=2 получены простые явные формулы, осуществляющие такое сведение. Рассмотрены частные случаи четного первого барьера и двух одинаковых четных (после соответствующих сдвигов) барьеров. Разумеется, аналогичные результаты справедливы и для вероятностей отражения и прохождения. Получено простое уравнение для нахождения резонансов двухбарьерной структуры в терминах амплитуд для каждого из двух барьеров.

В статье также приведена иная схема доказательства полученных результатов, основанная на разложении в ряд T-оператора, позволяющая обосновать физические представления о рассеянии на многослойной структуре как о многократном рассеянии на отдельно взятых слоях. При доказательстве утверждений используется известный прием сведения уравнения Липпмана-Швингера к «модифицированному» уравнению в гильбертовом пространстве, что позволяет, в свою очередь, воспользоваться теорией Фредгольма. Конечно, все полученные результаты остаются справедливыми и для «непрерывного» оператора Шрёдингера, а выбор дискретного подхода обусловлен его растущей популярностью в квантовой теории твердого тела.

Исследуются спектральные свойства дискретного оператора Шредингера для бесконечной полосы с нулевыми граничными условиями. Доказано, что для малых убывающих потенциалов вблизи особенностей невозмущенной функции Грина (граничных точек подзон) возникают собственные значения и резонансы, найдена их асимптотика. Описана картина рассеяния; явление дифракции (рассеяние, главным образом, по конечному числу выделенных направлений) трансформируется в рассматриваемой квазиодномерной системе в волны во времени вероятностей прохождения и отражения. Получены простые формулы для данных вероятностей вблизи граничных точек подзон (это отвечает малым скоростям квантовой частицы) в случае малых потенциалов.

Углеродные нанотрубки активно исследуются в физической литературе в последние два десятилетия. Уникальные физические свойства, в частности высокая прочность и проводимость, обуславливают многообещающие возможности их применения в микроэлектронике. Несмотря на физическую актуальность этих задач, математически такие структуры исследовались очень мало. В данной работе в приближении сильной связи рассматривается гамильтониан электрона в однослойной нанотрубке типа «зигзаг» с примесью, равномерно распределенной в сечении нанотрубки. С помощью уравнения Липпмана-Швингера исследуется задача рассеяния для данного гамильтониана в случае малого потенциала примеси и медленных электронов. Поскольку электронная проводимость пропорциональна вероятности прохождения, фактически при этом изучается задача проводимости в нанотрубке. Получены простые формулы для коэффициентов отражения и прохождения. Найдены условия полного отражения и полного прохождения, а также условия возрастания и убывания вероятности прохождения.