Все выпуски

В настоящее время в физической литературе активно изучаются майорановские локализованные состояния (МЛС) и сопутствующие их возникновению явления, такие как изменение кондактанса, что обусловлено весьма вероятным применением МЛС в квантовых вычислениях. Несмотря на актуальность, строгого математического исследования спектральных свойств и рассеяния для одночастичного оператора Боголюбова-де Жена $H,$ обычно используемого для исследования МЛС, почти не проводилось; методы, предложенные в статье, позволяют получить математически и физически интересные результаты. В работе математически строго изучен вопрос существования МЛС (т.е. существования нулевого собственного значения) для гамильтониана Боголюбова-де Жена в случае бесконечной одномерной $p$-волновой сверхпроводящей структуры при наличии потенциала; получены условия существования МЛС. Также изучена задача рассеяния для оператора Боголюбова-де Жена с потенциалом. При решении данных задач используется функция Грина оператора $H$, которая также найдена в статье.

Работа посвящена изучению устойчивости стационарных локализованных мод (солитонов щелевого типа) в одномерном нелинейном уравнении Шрёдингера (НУШ) с периодическим потенциалом и отталкивающей нелинейностью. Рассмотрены два класса решений: связанное состояние пары простейших щелевых солитонов из первой запрещенной зоны линейного спектра, находящихся в одной фазе или в противофазе и разделенных некоторым количеством пустых потенциальных ям. Для таких решений с помощью метода коллокации Фурье (Fourier collocation method) и метода функции Эванса (Evans function method) посчитаны линейные спектры задачи об устойчивости. Обнаружено, что если число разделяющих потенциальных ям между щелевыми солитонами нечетно (четно), то решения в одной фазе (в противофазе) экспоненциально неустойчивы. В этом случае, действительные части неустойчивых собственных значений в соответствующих спектрах экспоненциально убывают с ростом числа разделяющих периодов между щелевыми солитонами. С другой стороны, если число разделяющих потенциальных ям четно (нечетно), то решения в одной фазе (в противофазе) линейно устойчивы вдали от верхней границы первой запрещенной зоны, либо демонстрируют слабую осцилляторную неустойчивость вблизи границы запрещенной зоны. Для проверки результатов линейного анализа, был проведен численный счет НУШ с помощью конечно-разностной схемы. В результате эволюции, все рассмотренные в работе экспоненциально неустойчивые щелевые солитоны деформировались в пульсирующие объекты, тогда как устойчивые решения сохранили свой профиль в течение всего времени эксперимента.