Все выпуски

Работа посвящена исследованию свойства интегральной разделенности линейных систем с дискретным временем. Согласно определению система $x(m+1)=A(m)x(m),$ $m\in\mathbb N,$ $x\in\mathbb R^n,$ называется системой с интегральной разделенностью, если она имеет фундаментальную систему решений $x^1(\cdot),\ldots,x^n(\cdot)$ такую, что при некоторых $\gamma>0$, $a>1$ и всех натуральных $m>s$, $i\leqslant n-1$ выполнены неравенства $$ \dfrac{\|x^{i+1}(m)\|}{\|x^{i+1}(s)\|}\geqslant\gamma a^{m-s}\dfrac{\|x^{i}(m)\|}{\|x^{i}(s)\|}. $$ Понятие интегральной разделенности систем с непрерывным временем было введено Б.Ф. Быловым в 1965 году. Доказаны критерии интегральной разделенности систем с дискретным временем: приводимость к диагональному виду с интегрально разделенной диагональю; устойчивость и некратность показателей Ляпунова. Подробно исследовано также свойство диагонализируемости систем с дискретным временем. Доказательства учитывают специфику этих систем.

В работе изучается влияние шума на модель ферментативной реакции Голдбетера, описывающую механизм колебательного синтеза циклического аденозинмонофосфата в клетке. Показано, что модель отличается высокой чувствительностью к вариациям параметров и начальных условий. Демонстрируется и исследуется явление стохастической возбудимости в зоне устойчивого равновесия. Показано, что воздействие шума приводит к резкому переходу от малоамплитудных стохастических осцилляций к спайковым колебаниям большой амплитуды. Для параметрического анализа этого явления используются техника функций стохастической чувствительности и метод доверительных эллипсов. Изучена зависимость критического значения интенсивности шума, при котором начинается генерация большеамплитудных колебаний, от близости управляющего параметра к точке бифуркации. Для детального анализа частотных свойств стохастических колебаний проведен статистический анализ межспайковых интервалов и обнаружено явление когерентного резонанса.

Рассматривается задача о назначении спектра показателей Ляпунова линейной управляемой системы с дискретным временем $$x(m+1)=A(m)x(m)+B(m)u(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n},\ u\in\mathbb R^{k}, \qquad (1)$$ посредством линейной по фазовым переменным обратной связи $u(m)=U(m)x(m)$ в малой окрестности спектра показателей свободной системы $$x(m+1)=A(m)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (2)$$ Дополнительно требуется, чтобы норма матрицы обратной связи $U(\cdot)$ удовлетворяла липшицевой оценке по отношению к требуемому смещению показателей. Это свойство называется пропорциональной локальной управляемостью полного спектра показателей Ляпунова замкнутой системы $$x(m+1)=\bigl(A(m)+B(m)U(m)\bigr)x(m),\quad m\in\mathbb N,\ x\in\mathbb R^{n}. \qquad (3)$$ Построен пример, показывающий, что найденные ранее достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы (3) (равномерная полная управляемость системы (1) и устойчивость показателей Ляпунова свободной системы (2)) не являются необходимыми.

В прямоугольной области исследуются нелокальные краевые задачи для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами, описывающие диффузионный перенос той или иной субстанции, а также перенос, обусловленный движением среды. Методом энергетических неравенств выводятся априорные оценки решений нелокальных краевых задач в дифференциальной форме. Построены разностные схемы, и для них доказываются аналоги априорных оценок в разностной форме, приводятся оценки погрешности в предположении достаточной гладкости решений уравнений. Из полученных априорных оценок следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи со скоростью $O(h^2+\tau^2)$.

В статье рассматривается задача устойчивой реконструкции неизвестного входа системы по результатам неточных измерений ее решения. Суть задачи состоит в следующем. Имеется система, описываемая распределенным уравнением второго порядка, решение которой зависит от входа, меняющегося со временем. Как вход, так и решение заранее не известны. В дискретные моменты времени измеряется решение уравнения. Результаты измерения неточны. Требуется построить алгоритм приближенного восстановления входа, обладающий свойствами динамичности и устойчивости. Свойство динамичности означает, что текущие значения приближений входа вычисляются в реальном времени (он-лайн). Свойство устойчивости — что приближения являются достаточно точными, при хорошей точности измерений. Задача относится к классу обратных задач. Представленный в статье алгоритм основан на конструкциях теории устойчивого динамического обращения в комбинации с методами некорректных задач и позиционного управления.

Изучается устойчивость линейных автономных скалярных разностных уравнений с комплексными коэффициентами. Для уравнения с произвольным количеством запаздываний приводится простое доказательство линейной связности его области устойчивости в пространстве коэффициентов. Этот результат позволяет утверждать, что областью устойчивости уравнения в пространстве коэффициентов является область $D$-разбиения этого пространства, содержащая начало координат. Далее рассматриваются некоторые уравнения с двумя запаздываниями и комплексными коэффициентами, для которых даются подробные аналитические и геометрические описания областей равномерной и экспоненциальной устойчивости.

В данной работе представлена и проанализирована симметричная стабилизированная коллокационная формулировка метода конечных объемов для стационарной обобщенной задачи Стокса. Этот метод основан на аппроксимации наинизшего порядка (кусочно-постоянные функции) для обеих неизвестных величин: скорости и давления. Стабилизация достигается за счет добавления в формулировку дискретного слагаемого, связанного с давлением. Установлены свойства устойчивости и сходимости метода. В заключение представлены два численных примера, подтверждающие устойчивость и точность предложенного метода.

На основе модели Колмогорова «хищник–жертва» предложена система для описания динамики трех видов: жертвы $x(t)$, потребляющего её хищника $y(t)$ и суперхищника $z(t)$, питающегося обоими видами. Учтена нелинейная зависимость от численности жертв коэффициентов роста всех трех видов, правая часть системы дифференциальных уравнений первого порядка содержит 10 вещественных коэффициентов. Аналитически найдены условия на параметры суперхищника, при которых система является косимметричной и возникает однопараметрическое семейство решений дифференциальных уравнений. Мультистабильность реализуется в виде семейств равновесий и периодических решений (предельных циклов). Каждое решение может быть получено из начальных данных, принадлежащих соответствующему бассейну. Наличие нуля в спектре устойчивости равновесий и близких к единице двух мультипликаторов для предельных циклов подтверждает теоретические выводы о существовании континуума решений. При нарушении соотношений на параметры системы происходит разрушение семейств решений и возникает конечное число изолированных равновесий и предельных циклов. В такой ситуации динамический процесс установления равновесия или выхода на изолированный предельный цикл может занимать много времени. При этом динамика происходит в окрестности семейства, исчезнувшего в результате разрушения косимметрии, то есть сохраняется память системы о семействе.

Для билинейной управляемой системы с периодическими коэффициентами получены достаточные условия равномерной глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения. Доказательство основано на применении теоремы Красовского об асимптотической устойчивости в целом нулевого решения для периодических систем. Стабилизирующее управление построено по принципу обратной связи. Оно имеет вид квадратичной формы от фазовой переменной и является периодическим по времени.

Работа посвящена исследованию свойства замкнутости относительно операции сложения множества равномерных почти периодических функций. Показано, что доказательство этого свойства, проведенное в монографии Б.П. Демидовича «Лекции по математической теории устойчивости», содержит пробел. Приведено корректное доказательство.