Все выпуски

Определена конформная связность со скалярной кривизной как обобщение псевдориманова пространства постоянной кривизны. Вычислена матрица кривизны такой связности. Доказано, что на многообразии конформной связности со скалярной кривизной имеется конформная связность с нулевой матрицей кривизны. Дано определение перенормируемого скаляра и доказано существование перенормируемых скаляров на любом многообразии конформной связности, где существует разбиение единицы. Доказано: 1) существование на многообразии конформной связности с нулевой матрицей кривизны конформной связности с положительной, отрицательной и знакопеременной скалярной кривизной; 2) существование на многообразии конформной связности глобальной калибровочно-инвариантной метрики; 3) на гиперповерхности конформного пространства индуцированная конформная связность не может быть с ненулевой скалярной кривизной.

Пусть $X_0\subseteq\mathbb R^n$ — непустое открытое множество и $X_0\subseteq X\subseteq\overline X_0$. Допускается, что множество $X_0$ не ограничено и/или имеет счетное число компонент связности. В работе исследуются некоторые пространства функций $f\colon X\to\mathbb R$, наделенные специальной нормой $\|\cdot\|$. В определении нормы фигурирует $n$-мерный вектор $(\Delta x)^{-1}\Delta f$, являющийся аналогом отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$, порождающего понятие производной функции одной переменной. Вектор $(\Delta x)^{-1}\Delta f$ можно ассоциировать с вектором $\mathrm{grad}\,f(\cdot)$. Обратимая матрица $\Delta x$ порядка $n$ состоит из специальных приращений аргумента ${x\in \mathbb R^n}$, а вектор $\Delta f$ состоит из специальных приращений функции $f$. Доказан ряд свойств вектора $(\Delta x)^{-1}\Delta f$, получена точная формула для его евклидовой нормы. Доказана полнота по специальной норме $\|\cdot\|$ пространства $\mathcal G(X)$, состоящего из непрерывных ограниченных функций $f\colon X\to\mathbb R$ и имеющих дополнительные ограничения типа ограничений Липшица–Гёльдера. Подобные функции играют важную роль при решении задач математической физики. Исследован ряд актуальных подпространств пространства $\mathcal G(X)$, доказано, что два из них банаховы, одно из них при $n=1$ и при определенных условиях является замыканием пространства кусочно-линейных функций $f\colon X\to\mathbb R$.