Все выпуски

Проведен обзор моделей, приводящих к неинтегрируемому уравнению Островского и его обобщениям, не имеющим точных уединенно-волновых решений. Приведен краткий вывод уравнения Островского для продольных волн в геометрически нелинейном стержне, лежащем на упругом основании. Показано, что в случае осесимметричного распространения пучка продольных волн в физически нелинейной цилиндрической оболочке, взаимодействующей с нелинейно-упругой средой, для компоненты перемещения возникает обобщенное уравнение Буссинеска-Островского шестого порядка. Построено точное кинкоподобное решение этого уравнения, установлена связь с обобщенным нелинейным уравнением Шрёдингера и найдено решение последнего уравнения в форме устойчивой солитоноподобной бегущей волны с монотонно затухающими или колебательными хвостами.

В данной работе исследуется качение сферического волчка с осесимметричным распределением масс по гладкой горизонтальной плоскости, совершающей периодические вертикальные колебания. Для рассматриваемой системы получены уравнения движения и законы сохранения. Показано, что система допускает два положения равновесия, соответствующих равномерным вращениям волчка относительно вертикально расположенной оси симметрии. Положение равновесия устойчиво, когда центр масс расположен ниже геометрического центра и неустойчиво, если центр масс расположен выше него. Проведена редукция уравнений движения к системе с полутора степенями свободы. Рассматриваемая редуцированная система представлена в виде малого возмущения задачи о движении волчка Лагранжа. При помощи метода Мельникова показано, что устойчивая и неустойчивая ветви сепаратрисы трансверсально пересекаются между собой, что говорит о неинтегрируемости рассматриваемой задачи. Приведены результаты компьютерного моделирования динамики волчка вблизи неустойчивого положения равновесия.

В данной работе рассматриваются системы материальных точек в евклидовом пространстве, взаимодействующих как друг с другом, так и с внешним полем. Для случая произвольного парного взаимодействия между телами, зависящего только от их взаимного расстояния, указаны новые интегралы, образующие вектор галилеева момента. Приведена соответствующая алгебра интегралов, которую образуют интегралы импульса, момента импульса игалилеева момента.

Рассмотрены  системы частиц, взаимодействие между которыми описывается однородным потенциалом степени однородности α=-2. Для этих систем приведена наиболее общая форма дополнительного первого интеграла движения, называемого нами интегралом Якоби. Указана новая нелинейная алгебра интегралов, включающая интеграл Якоби. Систематически описана новая процедура редукции и возможность ее применения в динамике для понижения
порядка гамильтоновых систем.

В статье также приводится ряд новых интегрируемых и суперинтегрируемых систем, являющихся обобщением классических. Приведен ряд обобщений тождества Лагранжа для систем с однородным потенциалом степени однородности α=-2, а также с помощью компьютерных экспериментов доказана неинтегрируемость задачи Якоби на плоскости.

В работе рассматривается проблема гамильтонизации неголономных систем, как интегрируемых, так и неинтегрируемых. Этот вопрос является важным при качественном исследовании этих систем и позволяет определить возможные динамические эффекты. Первая часть работы посвящена представлению в конформно гамильтоновой форме интегрируемых систем. Во второй части доказывается существование конформно гамильтонового представления в окрестности периодического решения для произвольной (в том числе интегрируемой) системы, сохраняющей инвариантную меру. Общие конструкции всюду иллюстрируются примерами из неголономной механики.