Все выпуски

В данной работе рассматривается система Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником. Показано, что система Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником может быть проинтегрирована методом обратной задачи рассеяния. Для решения рассматриваемой задачи используются прямая и обратная задачи рассеяния уравнения Штурма–Лиувилля с потенциалом, зависящим от энергии. Определена временная эволюция данных рассеяния для уравнения Штурма–Лиувилля с энергозависимыми потенциалами, связанными с решением системы Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником. Полученные равенства полностью определяют данные рассеяния при любом $t$, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи Коши для системы Каупа–Буссинеска с самосогласованным источником.

Работа посвящена изучению устойчивости стационарных локализованных мод (солитонов щелевого типа) в одномерном нелинейном уравнении Шрёдингера (НУШ) с периодическим потенциалом и отталкивающей нелинейностью. Рассмотрены два класса решений: связанное состояние пары простейших щелевых солитонов из первой запрещенной зоны линейного спектра, находящихся в одной фазе или в противофазе и разделенных некоторым количеством пустых потенциальных ям. Для таких решений с помощью метода коллокации Фурье (Fourier collocation method) и метода функции Эванса (Evans function method) посчитаны линейные спектры задачи об устойчивости. Обнаружено, что если число разделяющих потенциальных ям между щелевыми солитонами нечетно (четно), то решения в одной фазе (в противофазе) экспоненциально неустойчивы. В этом случае, действительные части неустойчивых собственных значений в соответствующих спектрах экспоненциально убывают с ростом числа разделяющих периодов между щелевыми солитонами. С другой стороны, если число разделяющих потенциальных ям четно (нечетно), то решения в одной фазе (в противофазе) линейно устойчивы вдали от верхней границы первой запрещенной зоны, либо демонстрируют слабую осцилляторную неустойчивость вблизи границы запрещенной зоны. Для проверки результатов линейного анализа, был проведен численный счет НУШ с помощью конечно-разностной схемы. В результате эволюции, все рассмотренные в работе экспоненциально неустойчивые щелевые солитоны деформировались в пульсирующие объекты, тогда как устойчивые решения сохранили свой профиль в течение всего времени эксперимента.