Все выпуски

Рассмотрена математическая модель конкуренции в условиях биологической инвазии, записываемая в виде системы нелинейных уравнений параболического типа. Изучается конкуренция двух близкородственных видов — резидента и инвайдера. Динамика популяций на неоднородном ареале определяется локальным взаимодействием и диффузионным распространением. Для популяции инвайдера учитывается межвидовой таксис и направленная миграция, вызванная неоднородностью жизненных условий. В вычислительных экспериментах определены наборы миграционных параметров, отвечающих различным инвазивным сценариям. Дан анализ влияния начальных распределений на конкурентное исключение и сосуществование видов.

Изучается многомерный случай нелинейной системы реакции-диффузии, моделируемый системой двух уравнений параболического типа со степенными нелинейностями. Такого рода системы можно применять для моделирования процесса распространения в пространстве взаимодействующих распределенных формаций роботов двух типов. Такие уравнения описывают также процессы нелинейной диффузии в реагирующих двухкомпонентных сплошных средах. Предложен оригинальный вариант метода редукции, сводящий построение зависимости точного решения от пространственных переменных к решению уравнения Гельмгольца, а зависимости от времени — к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Построен ряд примеров многопараметрических семейств точных решений, задаваемых элементарными функциями.

Пусть $U$ — множество допустимых управлений, $T>0$ и задана шкала банаховых пространств $W[0;\tau]$, $\tau\in(0;T]$, такая, что множество сужений функций из $W=W[0;T]$ на $[0;\tau]$ совпадает с $W[0;\tau]$; $F[.;u]\colon W\to W$ — управляемый вольтерров оператор, $u\in U$. Ранее для операторного уравнения $x=F[x;u]$, $x\in W$, автором была введена система сравнения в форме функционально-интегрального уравнения в пространстве $\mathbf{C}[0;T]$. Было установлено, что для сохранения (относительно малых вариаций правой части) глобальной разрешимости операторного уравнения достаточно сохранения глобальной разрешимости указанной системы сравнения, а также установлены соответствующие достаточные условия. В данной статье рассматриваются дальнейшие примеры приложения этой теории: нелинейное волновое уравнение, сильно нелинейное волновое уравнение, нелинейное уравнение теплопроводности, сильно нелинейное параболическое уравнение.

Мы исследуем эволюцию осесимметричного двухслойного медленного течения вязкой жидкости со свободной границей, которое создается начальным рельефом границ слоев и скоростями на нижней границе. Каждый слой имеет постоянную плотность и вязкость. Предполагается, что верхний слой имеет меньшую плотность, чем нижний. На основе уравнений Рейнольдса построена система нелинейных параболических уравнений относительно поверхности и границы раздела слоев для описания этого течения. Принимая безразмерный скачок плотностей между слоями как малый параметр, мы применяем метод асимптотических разложений, чтобы выделить главное приближение для медленной эволюции уравнений движения на больших временах. Получено асимптотическое уравнение, связывающее смещения поверхности и границы раздела слоев со скоростями на нижней границе. На основе этого уравнения разработан алгоритм для расчета полей скоростей в слоях на больших временах. Для наглядного представления течения используются линии тока. Численные результаты показали устойчивость линий тока в верхнем слое при вариации скорости на нижней границе. В качестве геофизических приложений разработанный алгоритм используется для количественной оценки поля скоростей в коре под крупномасштабными кольцевыми структурами на Луне (верхний слой), создаваемого глубинными движениями в подстилающей мантии (нижний слой). Чтобы подтвердить достоверность результатов моделирования, мы сопоставляем рассчитанные поля скоростей с системами хребтов кольцевых структур, полученных из экспериментальных наблюдений. Модельное сравнение показало пространственную близость радиусов кольцевых хребтов и особых точек скорости течения на поверхности.

Рассматривается нелинейное функционально-операторное уравнение типа Гаммерштейна, представляющее собой удобную форму описания широкого класса управляемых распределенных систем. Для указанного уравнения доказываются теорема единственности решения, а также мажорантный признак тотально (по всему множеству допустимых управлений) глобальной разрешимости, использующий предположения о вольтерровости операторной составляющей и о дифференцируемости по переменной состояния функциональной составляющей правой части. Кроме того, используются предположения о глобальной разрешимости исходного уравнения для фиксированного допустимого управления $u=v$, а также о глобальной разрешимости некоторого мажорантного уравнения с правой частью, зависящей от максимального отклонения допустимых управлений от управления $v$. В качестве примера рассматривается первая краевая задача для параболического уравнения второго порядка с правой частью $f\bigl( t, x(t),u(t)\bigr)$, $t=\{ t_0,\overline{t}\}\in\Pi=(0,T)\times Q$, $Q\subset\mathbb{R}^n$, $x$ - фазовая переменная, $u$ - управляющая переменная. Здесь решение мажорантного уравнения можно представить как решение начально-краевой задачи аналогичного вида с правой частью $bx^{q/2}+a_0x+Z$, при нулевых начально-краевых условиях, $Z(t)=\max\limits_{u\in\mathcal{V}(t)} |f(t,x[v](t),u)-f(t,x[v](t),v(t))|$, $\mathcal{V}(t)\subset\mathbb{R}^s$ - множество допустимых значений управления при $t\in\Pi$, $q>2$, $s\in\mathbb{N}$; $a_0(.)$ и $b\geqslant0$ - параметры, определяемые по $f^\prime_x$.

Доказываются достаточные условия поточечной управляемости по нелинейному функционалу для нелинейных распределенных систем, допускающих представление в виде вольтеррова функционально-операторного уравнения в лебеговом пространстве, на заданном множестве D конечномерных аппроксимаций управления. Определяется множество глобальной разрешимости Ω как множество всех управлений из D, для каждого из которых уравнение имеет единственное глобальное решение. В качестве вспомогательного результата, представляющего самостоятельный интерес, доказывается, что при сделанных предположениях выполняется равенство Ω = D. Сведение управляемых распределенных систем к изучаемому функционально-операторному уравнению иллюстрируется на двух примерах: первой краевой задачи для параболического уравнения второго порядка и смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка; и то, и другое уравнение достаточно общего вида.