Все выпуски

В настоящей работе мы изучаем спектральную задачу для дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и с краевыми условиями типа Дирихле. Построена функция Грина изучаемой краевой задачи. Получены равномерные оценки функций Грина рассматриваемых краевых задач. Установлена равносходимость разложений произвольной функции из класса $L_{1}(-1,1)$ по собственным функциям двух дифференциальных операторов второго порядка с инволюцией с краевыми условиями типа Дирихле. Мы используем интегральный метод, основанный на функции Грина дифференциального оператора второго порядка с инволюцией и со спектральным параметром. Как следствие из доказанной теоремы о равносходимости разложений по собственным функциям, мы доказываем базисность в пространстве $L_{2}(-1,1)$ собственных функций спектральной задачи с непрерывным комплекснозначным коэффициентом $q(x).$

В настоящей работе исследуется двумерная краевая задача типа Стеклова для оператора Ламэ в полуполосе, которая является предельной для сингулярно возмущенной краевой задачи в полуполосе с малым отверстием. Доказана теорема о существовании собственных элементов исследуемой краевой задачи. В частности, получены оценки для собственных значений, выраженные через постоянные Ламэ и параметр, определяющий ширину полуполосы, а также уточнена структура соответствующих собственных вектор-функций, определяющая их поведение при удалении от основания полуполосы. Более того, найдены явные выражения собственных значений предельной краевой задачи с точностью до решения системы алгебраических уравнений. Результаты, полученные в данной работе, позволят построить и строго обосновать асимптотическое разложение собственного значения сингулярно возмущенной краевой задачи в полуполосе с малым отверстием с точностью до степени малого параметра, характеризующего размер отверстия.

Математическое моделирование композиционных материалов играет важную роль в современной технике, а решение и исследование обратных граничных задач теплообмена невозможно без использования систем собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения с разрывными коэффициентами. Одним из важнейших свойств таких систем является их полнота в соответствующих пространствах. Это свойство систем позволяет доказать теоремы существования и единственности как для прямых задач, так и обратных граничных задач теплопроводности, а также обосновать численные методы решения таких задач. В настоящей статье доказана полнота в пространстве $L_2[r_0,r_2]$ задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального оператора второго порядка с разрывным коэффициентом. Эта задача возникает при исследовании и решении обратной граничной задачи теплопроводности для полого шара, состоящего из двух шаров с различными коэффициентами температуропроводности. Доказана самосопряженность, инъективность, а также положительная определенность этого оператора.

В данной статье для одного дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка с оператором Бесселя в прямоугольной области сформулированы две нелокальные начально-граничные задачи. Исследована корректность одной из поставленных задач. При этом применением метода разделения переменных к изучаемой задаче получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения высокого четного порядка. Доказана самосопряженность последней задачи, откуда следует существование системы ее собственных функций, а также ортонормированность и полнота этой системы. Далее, построена функция Грина спектральной задачи, с помощью чего она эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром. С помощью этого интегрального уравнения и теоремы Мерсера исследована равномерная сходимость некоторых билинейных рядов, зависящих от найденных собственных функций. Установлен порядок коэффициентов Фурье. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Доказана равномерная сходимость этого ряда, а также рядов, полученных из него почленным дифференцированием. Методом спектрального анализа доказана единственность решения задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.

Исследуются спектральные свойства дискретного оператора Шредингера для бесконечной полосы с нулевыми граничными условиями. Доказано, что для малых убывающих потенциалов вблизи особенностей невозмущенной функции Грина (граничных точек подзон) возникают собственные значения и резонансы, найдена их асимптотика. Описана картина рассеяния; явление дифракции (рассеяние, главным образом, по конечному числу выделенных направлений) трансформируется в рассматриваемой квазиодномерной системе в волны во времени вероятностей прохождения и отражения. Получены простые формулы для данных вероятностей вблизи граничных точек подзон (это отвечает малым скоростям квантовой частицы) в случае малых потенциалов.

В настоящее время продолжают активно изучаться неэрмитовы топологические системы. В данной статье в строгом подходе изучена одна из ключевых неэрмитовых систем — модель Хатано–Нельсона $H$. Найдена функция Грина для этого гамильтониана. С помощью функции Грина аналитически получены собственные значения и собственные функции $H$ для конечных и полубесконечных цепей, а также для бесконечной цепи с локальным потенциалом. Обсуждается неэрмитов скин-эффект для упомянутых выше моделей. Также описана граница между локализованными и резонансными состояниями (при нулевой энергии — это граница между неэрмитовыми топологическими фазами).

Рассматривается гамильтониан Боголюбова – де Жена, возмущенный малым потенциалом, описывающий квазичастицы вида «электрон плюс дырка», в частности андреевские локализованные состояния (АЛС) в одномерной сверхпроводящей структуре при наличии примеси. Интерес к упомянутым квазичастицам резко возрос в последние 15-20 лет благодаря открытию в топологических сверхпроводниках майорановских локализованных состояний (МЛС). МЛС представляют собой устойчивые к внешним воздействиям нейтральные квазичастицы с нулевой энергией, весьма перспективные для будущего использования в квантовых вычислениях. Исследование возникновения и поведения, в зависимости от параметров системы и топологической фазы, АЛС, описываемых собственными функциями гамильтониана Боголюбова – де Жена, интересно как с математической точки зрения, в сравнении с обычным оператором Шрёдингера, так и с физической, поскольку может прояснить предпосылки возникновения МЛС в топологически нетривиальной фазе и майораноподобных состояний (часто играющих роль МЛС) в топологически тривиальной фазе. Изучение рассеяния интересно тем, что вероятность прохождения квазичастицы через потенциальный барьер пропорциональна кондактансу, который можно измерить в эксперименте, что в принципе дает возможность связать величину кондактанса с наличием АЛС. В статье найдены условия возникновения собственных значений (энергий квазичастиц) в сверхпроводящей щели, имеющейся в непрерывном спектре гамильтониана, а также их зависимость от параметров как в топологически нетривиальной, так и в топологически тривиальной фазах. Кроме того, исследована задача рассеяния для энергий вблизи границы щели; в частности, найдена вероятность прохождения квазичастицы через потенциальный барьер как функция от параметров системы.

В данной статье для одного уравнения смешанного типа четвертого порядка, вырождающегося внутри и на границе области, в прямоугольной области сформулирована и исследована нелокальная начально-граничная задача. С помощью применения метода разделения переменных получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Построена функция Грина последней задачи, с помощью чего она эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром, откуда следует существование собственных значений и система собственных функций спектральной задачи. Доказана теорема разложения заданной функции в равномерно сходящийся ряд по системе собственных функций. С помощью найденного интегрального уравнения и теоремы Мерсера доказана равномерная сходимость некоторых билинейных рядов, зависящих от найденных собственных функций. Установлен порядок коэффициентов Фурье. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.

В настоящей работе с помощью отображений типа инволюции вводится нелокальный аналог оператора Лапласа. Для соответствующего нелокального аналога уравнения Пуассона в единичном шаре изучены новые классы краевых задач. В рассматриваемых задачах граничные условия заданы в виде связи значения искомой функции в верхней полусфере со значением в нижней полусфере. Исследуемые задачи обобщают известные периодические и антипериодические краевые задачи для круговых областей. Задачи решаются сведением их к двум вспомогательным задачам с краевыми условиями Дирихле и Неймана для нелокального аналога уравнения Пуассона. Используя известные утверждения для полученных вспомогательных задач, мы доказываем теоремы о существовании и единственности решения основных задач. Найдены точные условия разрешимости исследуемых задач, а также получены интегральные представления решений. Изучены также спектральные вопросы, связанные с периодическими задачами. Найдены собственные функции и собственные значения этих задач. Доказаны теоремы о полноте системы собственных функций в пространстве $L_2$.