Все выпуски

Рассмотрено применение барицентрического метода для численного решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в ограниченной односвязной области $\Omega\subset\mathbb{R}^2$. Основное допущение в решении заключается в задании границы $\Omega$ в кусочно-линейном представлении. Отличительная особенность барицентрического метода состоит в порядке формирования глобальной системы векторных базисных функций для $\Omega$ через барицентрические координаты. Установлены существование и единственность решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца барицентрическим методом и определена оценка скорости сходимости. Уточнены особенности алгоритмической реализации метода.

Изучается многомерный случай нелинейной системы реакции-диффузии, моделируемый системой двух уравнений параболического типа со степенными нелинейностями. Такого рода системы можно применять для моделирования процесса распространения в пространстве взаимодействующих распределенных формаций роботов двух типов. Такие уравнения описывают также процессы нелинейной диффузии в реагирующих двухкомпонентных сплошных средах. Предложен оригинальный вариант метода редукции, сводящий построение зависимости точного решения от пространственных переменных к решению уравнения Гельмгольца, а зависимости от времени — к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Построен ряд примеров многопараметрических семейств точных решений, задаваемых элементарными функциями.

Описаны результаты линейного анализа устойчивости плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости над слоем насыщенной пористой среды при различных значениях ее пористости. Рассматривается ограниченная двухслойная система, состоящая из слоя однородной недеформируемой пористой среды конечной толщины и слоя несжимаемой однородной жидкости над ним. Пористый слой ограничен снизу твердой стенкой, верхняя граница жидкости рассматривается как свободная, но недеформируемая. Выполнен анализ линейной устойчивости стационарного течения в такой системе в условиях существования бимодальной нейтральной кривой и варьировании пористости нижнего слоя. Продемонстрирован переход между двумя основными модами неустойчивости: длинноволновой, связанной с точками перегиба в профиле течения, и коротковолновой, обусловленной большим поперечным градиентом скорости течения вблизи границы раздела жидкости и пористой среды. Уменьшение пористости влечет стабилизацию длинноволновых возмущений без существенного изменения критического волнового числа. Коротковолновые возмущения при этом дестабилизируются, а их критическое волновое меняется в широких пределах. При значении пористости меньше 0.7 инерционные слагаемые в уравнении фильтрации и величина механических напряжений на границе раздела возрастают настолько, что доминирующим механизмом развития неустойчивости становится аналог неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. В узком интервале пористости реализуется полоса устойчивости течения, разделяющая ветви нейтральной кривой.

Рассмотрены закрученные ламинарные осесимметричные течения вязких несжимаемых жидкостей в потенциальном поле массовых сил. Исследования течений осуществляются в цилиндрической системе координат. В течениях отдельно рассматриваются области, в которых осевая производная окружной скорости не может принимать нулевое значение в какой-нибудь открытой окрестности (существенно закрученные течения), и области, в которых эта производная равна нулю (область со слоистой закруткой). Показано, что для областей со слоистой закруткой можно применять известный метод (метод вязких вихревых доменов), разработанный для незакрученных течений. Для существенно закрученных течений получена формула для вычисления радиально-осевой скорости воображаемой жидкости через окружную компоненту завихренности, окружную циркуляцию реальной жидкости и частные производные этих функций. Частицы этой воображаемой жидкости «переносят» вихревые трубки радиально-осевой составляющей завихренности с сохранением интенсивности этих трубок, а также «переносят» величину окружной циркуляции и произведение окружной составляющей завихренности на некоторую функцию расстояния до оси симметрии. Предложен неинтегральный способ восстановления поля скорости по полю завихренности. Он сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с двумя переменными. Полученный результат предлагается использовать для распространения метода вязких вихревых доменов на закрученные осесимметричные течения.