Все выпуски

Данная работа посвящена постановке и исследованию однозначной разрешимости краевых задач (типа задачи Дарбу, задачи Трикоми) для нагруженного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с гиперболическим и параболо-гиперболическим оператором. Существование и единственность решения краевой задачи доказана методом интегральных уравнений. Задачи эквивалентным образом сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра со сдвигом. При достаточных условиях на заданные функции и коэффициенты доказывается однозначная разрешимость полученных интегральных уравнений.

В данной статье изучена задача Келдыша для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами в полубесконечном параллелепипеде. На основании свойства полноты систем собственных функций двух одномерных спектральных задач доказана теорема единственности. Для доказательства существования решения задачи использован спектральный метод Фурье, основанный на разделении переменных. Решение поставленной задачи построено в виде суммы двойного ряда Фурье-Бесселя. При обосновании равномерной сходимости построенного ряда использованы асимптотические оценки функций Бесселя действительного и мнимого аргумента. На их основе получены оценки для каждого члена ряда, позволившие доказать сходимость ряда и его производных до второго порядка включительно, а также теорему существования в классе регулярных решений.

Пусть $n,m,\ell,s\in\mathbb{N}$ - заданные числа, $\Pi\subset\mathbb{R}^n$ - измеримое ограниченное множество, $\mathcal{X}, \mathcal{Z}, \mathcal{U}$ - банаховы идеальные пространства измеримых на $\Pi $ функций, $\mathcal{D}\subset\mathcal{U}^{s}$ - выпуклое множество, $\mathcal{A}$ - некоторый класс линейных ограниченных операторов $A:\mathcal{Z}^{m} \to\mathcal{X}^{\ell}$. Изучается управляемое функционально-операторное уравнение типа Гаммерштейна: $$ x(t)=\theta(t)+ A\Bigl[f(.,x(.),u(.)) \Bigr](t), \quad t\in \Pi , \quad x\in\mathcal{X}^{\ell}, \qquad \qquad (1) $$ где набор параметров $\{ u,\theta,A\}\in \mathcal{D}\times \mathcal{X}^{\ell}\times \mathcal{A}$ - управляющий; $f(t,x,v): \Pi\times\mathbb{R}^{\ell}\times\mathbb{R}^{s}\to\mathbb{R}^{m}$ - заданная функция, измеримая по $t\in\Pi$, непрерывная по $\{x,v\}\in\mathbb{R}^\ell\times\mathbb{R}^s$ и удовлетворяющая некоторым естественным предположениям. Уравнение $(1)$ является удобной формой описания широкого класса управляемых распределенных систем. Для указанного уравнения доказывается теорема о достаточных условиях глобальной разрешимости для всех $u\in\mathcal{D}$, $A\in\mathcal{A}$ и $\theta$ из поточечно ограниченного множества. Для исходного уравнения определяются мажорантное и минорантное неравенства, получаемые из уравнения $(1)$ оценкой правой части соответственно сверху и снизу. Теорема доказывается при условии глобальной разрешимости мажорантного и минорантного неравенств. В качестве приложения полученных общих результатов доказывается теорема о тотальной (по всему множеству допустимых управлений) глобальной разрешимости смешанной задачи для системы гиперболических уравнений первого порядка с управляемыми старшими коэффициентами.

В работе исследуются нелокальные краевые задачи со смещением и разрывными условиями сопряжения на линии изменения типа для модельного нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа. В параболической области уравнение представляет собой уравнение дробной диффузии, в гиперболической - характеристически нагруженное волновое уравнение. Единственность решения исследуемых задач при определенных условиях на коэффициенты задачи доказывается методом Трикоми. Существование решения задач сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно следа искомого решения на линии изменения типа. Однозначная разрешимость интегрального уравнения следует из единственности решения задач. После решения интегрального уравнения решение задач сводится к решению первой краевой задачи для уравнения дробной диффузии в параболической области и решению задачи Коши для неоднородного волнового уравнения в гиперболической. Выписаны формулы представления решений исследуемых задач в параболической и гиперболической областях.

В данной статье для одного уравнения смешанного типа четвертого порядка, вырождающегося внутри и на границе области, в прямоугольной области сформулирована и исследована нелокальная начально-граничная задача. С помощью применения метода разделения переменных получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Построена функция Грина последней задачи, с помощью чего она эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром, откуда следует существование собственных значений и система собственных функций спектральной задачи. Доказана теорема разложения заданной функции в равномерно сходящийся ряд по системе собственных функций. С помощью найденного интегрального уравнения и теоремы Мерсера доказана равномерная сходимость некоторых билинейных рядов, зависящих от найденных собственных функций. Установлен порядок коэффициентов Фурье. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.